【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第5問

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

（1）$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M,m$ に対して，$a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。

$k$ を自然数とする。方程式

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

（3）$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

$c$ を定数とする。関数 $f(x)=x^3-6x^2-36x+c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1）$c=\boxed{\text{しす}}$ であり，$f(x)$ は $x=\boxed{\text{せそ}}$ で極大値 $\boxed{\text{たちつ}}$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(5,f(5))$ における接線の方程式は $y=\boxed{\text{てとな}}x-\boxed{\text{にぬ}}$ である。

（2）$c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y=x^3-\boxed{\text{ねの}}x$ となることから，曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $\boxed{\text{はひふへ}}$ となる。

座標平面において直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上の点 $\left(p,\frac{1}{2}p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell ,m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha ,\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha ,\beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha ,\beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}{x}^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\frac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。

$k>0$ とし，$xy$ 平面における $y=k{x}^2+2x-k+3$ のグラフを $C$ とする。

（1）$C$ は $k$ の値によらずつねに2つの定点 $\mathrm{A}\left(\boxed{\text{こさ}},\boxed{\text{し}}\right),\mathrm{B}\left(\boxed{\text{す}},\boxed{\text{せ}}\right)$ を通り，直線ABと $C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}k$ である。

（2）（1）のA，Bにおける $C$ の接線をそれぞれ $l,m$ とおく。 $l,m$ の交点は $\left(\boxed{\text{ち}},\boxed{\text{つて}}k+\boxed{\text{と}}\right)$ であり，$l,m,C$ の囲む図形の面積は $\frac{\boxed{\text{な}}}{\boxed{\text{に}}}k$ である。

2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）曲線 $y=f(x)$ と曲線 $y=g(x)$ の共有点のうち $x$ 座標が正であるものは，$\left(\boxed{\text{お}},\boxed{\text{か}}\right)$ である。また，この点における接線の方程式は $y=\boxed{\text{きく}}x+\boxed{\text{け}}$ である。

（2）$f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\geqq \boxed{\text{こさ}}$ である。また，$t$ を $t>1$ を満たす実数としたとき，$\boxed{\text{こさ}}\leqq x\leqq t$ の範囲で2曲線 $y=f(x),y=g(x)$ が囲む部分の面積と，$y=f(x),y=g(x)$ および直線 $x=t$ が囲む部分の面積の和が $\frac{75}{4}$ となる $t$ の値は，$\boxed{\text{し}}$ である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。

$a$ を定数とする。直線 $\ell :y=-x+4$ と曲線 $m:y=x^4-2x^3+a{x}^2+11x+40$ が2点で接するとき，接点の $x$ 座標はそれぞれ $\boxed{\text{ツテ}},\boxed{\text{ト}}$ であり，定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ナニヌ}}$ である。また，曲線 $m$ と直線 $\ell$ が囲む部分の面積は $\frac{\boxed{\text{ネノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。