【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第2問

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

（1）$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M,m$ に対して，$a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を用いてよい。

（1）$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

1から9までの相異なる整数 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ を下図のように配置した。横に並ぶ3つの数の和 $a+b+c,d+e+f,g+h+i$ がすべて一定値 $A$ であり，縦に並ぶ3つの数の和 $a+d+g,b+e+h,c+f+i$ および対角線上にある数の和 $a+e+i,c+e+g$ もすべて $A$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$A=\boxed{\text{ムメ}},e=\boxed{\text{モ}}$ である。

（2）$a>c,b=1$ のとき，

である。

（3）$c<g,f+h=4$ のとき，

である。

（1）$a>0$ とする。$2x^2-(4a+3)x+6a$ を因数分解すると $(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}}a)$ となるから，$x$ の不等式 $2x^2-(4a+3)x+6a<0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $\boxed{\text{エ}}<a\leqq \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

（2）$\boxed{a}\boxed{a}\boxed{a}\boxed{b}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{c}$ の7文字の並べ方は全部で $\boxed{\text{キクケ}}$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $\boxed{\text{コサ}}$ 通りある。

（3）不等式 $6x^2-13x+6\leqq 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\leqq x\leqq \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。 $y=5x^2-8x+7$ とすると，$x$ がこの範囲を動くとき，$y$ の最大値は $\frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（4）$\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表すと $\cos 3\theta =\boxed{\text{テ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ト}}\cos \theta$ となり，$0\leqq \theta <2\pi$ において $\cos 3\theta +\cos \theta =0$ をみたす $\theta$ で最大のものは $\theta =\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\frac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq \sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\frac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\frac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

座標平面において直線 $y=\frac{1}{2}x$ 上の点 $\left(p,\frac{1}{2}p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell ,m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha ,\beta$（ただし，$\alpha <\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha ,\beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha ,\beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}{x}^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\frac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\frac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない