早稲田大学の数学過去問

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に，$\angle \mathrm{A}$ が鈍角である鈍角三角形 $\mathrm{ABC}$ が内接している。$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上に動点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ と $2$ つの弦 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。$\angle \mathrm{C}=\alpha$ のとき，$D$ の最大値を $\alpha$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11}+17x+5=0$ の解を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots \cdots ,{\alpha }_{11}$ とする。$11$ 次の多項式 $f(x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき，$f(x)=$［イ］である。

（i）$x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f(x)=0$ は，${{\alpha }_1}^2,{{\alpha }_2}^2,{{\alpha }_3}^2,\cdots \cdots ,{{\alpha }_{11}}^2$ を解にもつ。

（3）$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。正の整数 $n$ に対し，$4n+1$ 個の点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots \cdots ,{\mathrm{P}}_{4n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$（$k=0,1,2,\cdots \cdots ,n-1$）に対し，${\mathrm{P}}_{4k},{\mathrm{P}}_{4k+1},{\mathrm{P}}_{4k+2},{\mathrm{P}}_{4k+3}$ は，それぞれ辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ 上にある。
（ii）${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A},{\mathrm{P}}_{4n}=\mathrm{B}$。

このとき，

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4）$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を考える。点 $\mathrm{O}$ から正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を含む平面に下ろした垂線を $\mathrm{OH}$ とする。$\mathrm{OH}=2$ のとき，$1\leqq i<j\leqq n$ である $i,j$ に対する内積 $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_i}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_j}$ の総和

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

整数 $c$ を初項とする数列 $\{a_n\}$ が以下を満たすとする。

次の設問に答えよ。

（1）数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

（2）数列 $\{a_n\}$ の最大の項が $56$ であるとき，$c$ の値を求めよ。

空間において，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$，円 $S$ を底面にもち点 $\mathrm{P}$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ を $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ となるようにとる。直線 $\mathrm{CD}$ を含み，$\mathrm{PA}$ と平行な平面を $\alpha$ とする。$\mathrm{PA}=6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で，$V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを ${\beta }_r$ とする。$\alpha$ と ${\beta }_r$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき，$l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $\mathrm{O}$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を通り，$\alpha$ と平行な平面を ${\alpha }_t$ とする。$t$ を $0<t<1$ の範囲で変化させたとき，${\alpha }_t$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

（1）$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M,m$ に対して，$a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。

$k$ を自然数とする。方程式

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

（3）$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を用いてよい。

（1）$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。