早稲田大学の数学過去問

次の関数 $f(x)$ について，以下の問に答えよ。

（1）$f(x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M,m$ に対して，$a\leqq x\leqq b$ における $f(x)$ の最大値が $M$，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a,b)$ のうち，$b-a$ が最小となる組を求めよ。

$k$ を自然数とする。方程式

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

（3）$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を用いてよい。

（1）$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。