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【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第1問

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次の関数 f(x)f(x) について，以下の問に答えよ。

f(x)=8x−152⋅4x+634⋅2x−578f(x)=8^x-\frac{15}{2}\cdot4^x+\frac{63}{4}\cdot2^x-\frac{57}{8}

（1）f(x)f(x) の極大値 MM と極小値 mm を求めよ。

（2）（1）で求めた M, mM,\ m に対して，a≦x≦ba\leqq x\leqq b における f(x)f(x) の最大値が MM，最小値が mm となるような実数の組 (a,b)(a,b) のうち，b−ab-a が最小となる組を求めよ。

重要知識と着眼点

（1）2x=t2^x=t とおいて3次関数に直す

三角関数・指数・対数を含む方程式や最大・最小の扱い方

  1. 「1種類のもの」で表せないか考える。
    例えば「sin⁡x\sin x のみで表す」「log⁡2x\log_2 x のみで表す」「2x2^x のみで表す」。
  2. 1種類のもので表せたら、それを tt とおく。
  3. もとの変数の範囲から tt の範囲を求めて解く。
    例えば t=2xt=2^x なら t>0t>0。

8x=(2x)38^x=(2^x)^3、4x=(2x)24^x=(2^x)^2 なので、f(x)f(x) は 2x2^x だけで表せます。
t=2xt=2^x とおくと、f(x)f(x) は tt の3次式になります。
これを g(t)g(t) とおきます。

t=2xt=2^x は xx の増加関数です。
xx が増えれば tt も増えるので、f(x)f(x) の増減は tt の3次式の増減と同じ順に並びます。
したがって、極値は tt の3次式を tt で微分して調べれば十分です。
置き換えた後は、t>0t>0 という範囲を忘れないようにしましょう。

（2）tt で区間を探し、長さは xx で比べる

3次関数の四等分の法則

極値をとる2点の xx 座標を α−h,α+h\alpha-h,\alpha+h（h>0h>0）とすると、変曲点の xx 座標は α\alpha。
極大・極小の高さに水平線を引くと、グラフとの交点と変曲点の xx 座標は、
α−2h, α−h, α, α+h, α+2h\alpha-2h,\ \alpha-h,\ \alpha,\ \alpha+h,\ \alpha+2h
の5つで、等間隔に並ぶ。

最大値が MM、最小値が mm になるには、区間が「g(t)=Mg(t)=M となる点」と「g(t)=mg(t)=m となる点」をそれぞれ含む必要があります。
さらに、区間内で MM を超えたり mm を下回ったりしてはいけません。
そこで、g(t)=Mg(t)=M と g(t)=mg(t)=m の解をすべて求めます。
極値をとる tt は 32\dfrac32 と 72\dfrac72 なので、四等分の法則から残りの解は 12\dfrac12 と 92\dfrac92 と予想できます。
予想した値は、因数分解で確かめます。

最後に比べるのは b−ab-a です。
a=log⁡2αa=\log_2\alpha、b=log⁡2βb=\log_2\beta なので、b−a=log⁡2βαb-a=\log_2\dfrac{\beta}{\alpha} となり、tt の区間の長さ β−α\beta-\alpha ではなく比 βα\dfrac{\beta}{\alpha} で決まります。
tt の世界で同じ長さに見える区間でも、xx の世界では長さが違うことに注意しましょう。

解答

（1）

t=2xt=2^x とおくと t>0t>0 で、xx が実数全体を動くとき、tt は正の実数全体を動く。

f(x)=t3−152t2+634t−578f(x)=t^3-\frac{15}{2}t^2+\frac{63}{4}t-\frac{57}{8}

この右辺を g(t)g(t) とおくと、

g′(t)=3t2−15t+634=3(t−32)(t−72).g'(t)=3t^2-15t+\frac{63}{4}=3\left(t-\frac32\right)\left(t-\frac72\right).

f′(x)=g′(t)⋅2xlog⁡2f'(x)=g'(t)\cdot2^x\log2 であり、2xlog⁡2>02^x\log2>0 だから、f′(x)f'(x) と g′(t)g'(t) の符号は一致する。
また、t=2xt=2^x は xx の増加関数なので、tt についての増減表をそのまま xx の増減と読みかえられる。

t(0)⋯32⋯72⋯g′(t)+0−0+g(t)↗3↘−1↗\begin{array}{c|cccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac32 & \cdots & \dfrac72 & \cdots \\ \hline g'(t) & & + & 0 & - & 0 & + \\ g(t) & & \nearrow & 3 & \searrow & -1 & \nearrow \end{array}

ここで、

g(32)=27−135+189−578=3,g(72)=343−735+441−578=−1.\begin{aligned} g\left(\frac32\right)&=\frac{27-135+189-57}{8}=3,\\ g\left(\frac72\right)&=\frac{343-735+441-57}{8}=-1. \end{aligned}

よって、x=log⁡232x=\log_2\dfrac32 のとき極大値 M=3M=3、x=log⁡272x=\log_2\dfrac72 のとき極小値 m=−1m=-1 をとる。

（2）

g(t)=3g(t)=3 と g(t)=−1g(t)=-1 の解を求める。
展開すると確かめられるように、

g(t)−3=(t−32)2(t−92),g(t)+1=(t−72)2(t−12).\begin{aligned} g(t)-3&=\left(t-\frac32\right)^2\left(t-\frac92\right),\\ g(t)+1&=\left(t-\frac72\right)^2\left(t-\frac12\right). \end{aligned}

t>0t>0 の範囲で、次が成り立つ。

  • g(t)=3  ⟺  t=32, 92g(t)=3\iff t=\dfrac32,\ \dfrac92、また g(t)>3  ⟺  t>92g(t)>3\iff t>\dfrac92
  • g(t)=−1  ⟺  t=12, 72g(t)=-1\iff t=\dfrac12,\ \dfrac72、また g(t)<−1  ⟺  0<t<12g(t)<-1\iff 0< t<\dfrac12
y=g(t)のグラフ。t=3/2で極大値3、t=7/2で極小値−1をとる。y=3とはt=3/2と9/2で、y=−1とはt=1/2と7/2で交わる。t=7/2から9/2までの区間に色を付けている
y=g(t)y=g(t) のグラフ

α=2a\alpha=2^a、β=2b\beta=2^b とおくと、a≦x≦ba\leqq x\leqq b は α≦t≦β\alpha\leqq t\leqq\beta に対応する。
g(t)g(t) の α≦t≦β\alpha\leqq t\leqq\beta における最大値が 33、最小値が −1-1 となる条件は、次の2つである。

  • 区間内で常に −1≦g(t)≦3-1\leqq g(t)\leqq3 である。これは 12≦α\dfrac12\leqq\alpha かつ β≦92\beta\leqq\dfrac92 と同じ。
  • 区間が 32, 92\dfrac32,\ \dfrac92 の少なくとも一方と、12, 72\dfrac12,\ \dfrac72 の少なくとも一方を含む。

また、b−a=log⁡2β−log⁡2α=log⁡2βαb-a=\log_2\beta-\log_2\alpha=\log_2\dfrac{\beta}{\alpha} だから、βα\dfrac{\beta}{\alpha} が最小となる場合を求めればよい。
12\dfrac12 と 72\dfrac72 のどちらを含むかで場合を分ける。

12\dfrac12 を含む場合
α=12\alpha=\dfrac12 であり、区間は 32\dfrac32 か 92\dfrac92 を含むから β≧32\beta\geqq\dfrac32。
よって βα≧3\dfrac{\beta}{\alpha}\geqq3。

12\dfrac12 を含まず、72\dfrac72 を含む場合
12<α≦72≦β≦92\dfrac12<\alpha\leqq\dfrac72\leqq\beta\leqq\dfrac92 である。

  • 92\dfrac92 を含むとき、β=92\beta=\dfrac92 だから βα≧9/27/2=97\dfrac{\beta}{\alpha}\geqq\dfrac{9/2}{7/2}=\dfrac97。等号は α=72\alpha=\dfrac72 のとき。
  • 92\dfrac92 を含まず 32\dfrac32 を含むとき、α≦32\alpha\leqq\dfrac32、β≧72\beta\geqq\dfrac72 だから βα≧73\dfrac{\beta}{\alpha}\geqq\dfrac73。

97<73<3\dfrac97<\dfrac73<3 だから、βα\dfrac{\beta}{\alpha} が最小となるのは α=72\alpha=\dfrac72、β=92\beta=\dfrac92 のときに限る。
このとき g(t)g(t) は 72≦t≦92\dfrac72\leqq t\leqq\dfrac92 で増加し、最小値 −1-1、最大値 33 をとるので、条件を満たす。

したがって、求める組は

(a,b)=(log⁡272, log⁡292)=(log⁡27−1, 2log⁡23−1).\begin{aligned} (a,b)&=\left(\log_2\frac72,\ \log_2\frac92\right)\\ &=\left(\log_27-1,\ 2\log_23-1\right). \end{aligned}
補足tの区間の長さで比べると誤る

tt の区間 12≦t≦32\dfrac12\leqq t\leqq\dfrac32 と 72≦t≦92\dfrac72\leqq t\leqq\dfrac92 は、どちらも長さが 11 です。
しかし xx の区間の長さは、それぞれ log⁡23≒1.58\log_23\fallingdotseq1.58 と log⁡297≒0.36\log_2\dfrac97\fallingdotseq0.36 で、大きく違います。
tt が大きいところほど、tt の同じ幅に対応する xx の幅は小さくなります。

補足解の値を見直す

g(t)=3g(t)=3 と g(t)=−1g(t)=-1 の解 12, 32, 72, 92\dfrac12,\ \dfrac32,\ \dfrac72,\ \dfrac92 と、変曲点の t=52t=\dfrac52 は、間隔 11 で並んでいます。
四等分の法則と一致するので、因数分解の結果を確かめられます。
また、12+72+72=152\dfrac12+\dfrac72+\dfrac72=\dfrac{15}{2} のように、3つの解の和が t2t^2 の係数から決まる値と一致することでも確認できます。

問題データ

関連分野
微分・積分
難易度の目安
B（標準）
目標時間
20分

講評

指数関数を 2x=t2^x=t で3次関数に直す、典型的な出だしの問題です。
（1）は置き換えに気づけば計算だけで終わるので、確実に得点したいところです。

差がつくのは（2）です。
最大値・最小値を同時にとる区間は、グラフを描けば候補を絞れます。
ただし、最後に比べる長さは xx の区間の長さです。
tt の区間の長さで比べると、12≦t≦32\dfrac12\leqq t\leqq\dfrac32 と 72≦t≦92\dfrac72\leqq t\leqq\dfrac92 の区別がつかず、答えを一つに決められません。

置き換えをした問題では、最後に「問われている量はどの変数で測るのか」を確認する習慣をつけましょう。
3次関数の四等分の法則も、解の予想と検算の両方に使える便利な知識です。

難易度はB、目標時間は20分としました。
（1）は定型の処理で、（2）も候補の区間を比べる場合分けは3通りで済むためです。
答案では、区間内で MM を超えないことと mm を下回らないことの両方を確認して書きましょう。

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