【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第1問

$k$ を自然数とする。方程式

を満たす自然数の組 $(m,n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m,n)$ が存在するならば，$2k^2\leqq n<4k^2$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $\sqrt{2}k$ より小さいことを示せ。

（3）$k=3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

座標空間内に点 $\mathrm{A}(0,0,1)$，点 $\mathrm{B}(1,1,0)$，および実数 $a$ を用いて表される点 $\mathrm{P}(a,0,0)$ をとる。さらに，2点 $(0,2,0)$，$(0,0,2)$ を通る直線を $\ell$ として，3点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P}$ が定める平面と直線 $\ell$ との交点を $\mathrm{Q}$ とする。

（1）点 $\mathrm{Q}$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{P},\mathrm{Q}$ が四角形 $\mathrm{APBQ}$ を成し，線分 $\mathrm{AB}$ と線分 $\mathrm{PQ}$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3）$a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $\mathrm{APBQ}$ の面積を $a$ を用いて表せ。

$a(1)=2$ とし，$a(2),a(3),a(4),\cdots$ を次の関係で定める。

以下の問に答えよ。

（1）$a(7),a(9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して，$a(2^n+1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_0,b_1,\cdots ,b_n$ を用いて，

と表せる。$b_0,b_1,\cdots ,b_n$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して，$\sum _{k=1}^{2^n-1}a(k)$ を求めよ。

関数 $f(x)=x\log x$ について，以下の問に答えよ。ただし，$\log$ は自然対数，$e$ は自然対数の底を表す。必要ならば，$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を用いてよい。

（1）$y=f(x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して，$g(x)=ax-1$ とする。曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数は，$a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=g(x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y=f(x)$，直線 $y=g(x)$ および直線 $x=\frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

空間において，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$，円 $S$ を底面にもち点 $\mathrm{P}$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ を $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$，$\mathrm{AB}\perp \mathrm{CD}$ となるようにとる。直線 $\mathrm{CD}$ を含み，$\mathrm{PA}$ と平行な平面を $\alpha$ とする。$\mathrm{PA}=6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で，$V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを ${\beta }_r$ とする。$\alpha$ と ${\beta }_r$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき，$l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $\mathrm{O}$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を通り，$\alpha$ と平行な平面を ${\alpha }_t$ とする。$t$ を $0<t<1$ の範囲で変化させたとき，${\alpha }_t$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

整数 $c$ を初項とする数列 $\{a_n\}$ が以下を満たすとする。

次の設問に答えよ。

（1）数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

（2）数列 $\{a_n\}$ の最大の項が $56$ であるとき，$c$ の値を求めよ。

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に，$\angle \mathrm{A}$ が鈍角である鈍角三角形 $\mathrm{ABC}$ が内接している。$\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上に動点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ と $2$ つの弦 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。$\angle \mathrm{C}=\alpha$ のとき，$D$ の最大値を $\alpha$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11}+17x+5=0$ の解を ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots \cdots ,{\alpha }_{11}$ とする。$11$ 次の多項式 $f(x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき，$f(x)=$［イ］である。

（i）$x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f(x)=0$ は，${{\alpha }_1}^2,{{\alpha }_2}^2,{{\alpha }_3}^2,\cdots \cdots ,{{\alpha }_{11}}^2$ を解にもつ。

（3）$1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。正の整数 $n$ に対し，$4n+1$ 個の点 ${\mathrm{P}}_0,{\mathrm{P}}_1,{\mathrm{P}}_2,\cdots \cdots ,{\mathrm{P}}_{4n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$（$k=0,1,2,\cdots \cdots ,n-1$）に対し，${\mathrm{P}}_{4k},{\mathrm{P}}_{4k+1},{\mathrm{P}}_{4k+2},{\mathrm{P}}_{4k+3}$ は，それぞれ辺 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{DA}$ 上にある。
（ii）${\mathrm{P}}_0=\mathrm{A},{\mathrm{P}}_{4n}=\mathrm{B}$。

このとき，

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4）$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を考える。点 $\mathrm{O}$ から正 $n$ 角形 ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3\cdots {\mathrm{A}}_n$ を含む平面に下ろした垂線を $\mathrm{OH}$ とする。$\mathrm{OH}=2$ のとき，$1\leqq i<j\leqq n$ である $i,j$ に対する内積 $\overrightarrow{{\mathrm{OA}}_i}\cdot \overrightarrow{{\mathrm{OA}}_j}$ の総和

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

以下の問いに答えよ。

（1）$2\cdot 2^x+2^{x+1}+2^{x+2}+2^{x+3}=2^{x^2-16}$ の解は $x=\boxed{\text{うえ}},\boxed{\text{お}}$ である。

（2）${\log }_2(x-5)-{\log }_2(x+11)+{\log }_2(x+2)=0$ の解は $x=\boxed{\text{か}}$ である。

（3）$3({\log }_{2}x{)}^2+{\log }_2{x}^2+{\log }_{x}4=7$ の解は，小さい順に $x=\frac{\boxed{\text{き}}}{\boxed{\text{く}}},2^{\frac{\boxed{\text{け}}}{\boxed{\text{こ}}}},\boxed{\text{さ}}$ である。

${\log }_{10}2=0.30103,{\log }_{10}3=0.47712$ とするとき，次の問いに答えよ。

（1）${\left(\frac{1}{15}\right)}^{51}$ は，小数点以下第 $\boxed{\text{サシ}}$ 位に初めて0でない数字が現れる。

（2）$2025^{2025}$ は $\boxed{\text{スセソタ}}$ 桁の数で，最高位の桁の数字は $\boxed{\text{チ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac{5}{7}}\times 6^{\frac{13}{7}}\times 14^{\frac{6}{7}}\times 21^{\frac{1}{7}}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 ${\log }_4(x-2)+{\log }_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x{)}^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},d=\boxed{\text{ス}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne 0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,y$ について $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin \frac{\pi }{18}$ のとき，$3a-4a^3=\frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,1,-2),\mathrm{B}(-1,-5,1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\boxed{\text{キク}},\boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1{)}^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。$n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき，$a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $\boxed{\text{シ}}$ である。「$a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_n$ とおく。$n=5$ のとき，$M_5=\boxed{\text{ス}}$ である。また，

である。ただし，$\log x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c+1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「$c=0$ である」という事象を $C$ とし，「$d=0$ である」という事象を $D$ とする。$n=4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $\boxed{\text{ソ}}$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $\boxed{\text{タ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。