【解答・解説】2026年慶應義塾大学商学部（A方式）数学第2問

公開 2026.10.12

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に，3点

\mathrm{A}(3,0,0),\qquad \mathrm{B}\left(\frac23,\ \frac23,\ \frac13\right),\qquad \mathrm{C}(2,1,2)

をとる。さらに， $s$ と $t$ を実数として， $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ ， $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ となる点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ を定める。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ のなす角を $\theta$ とすると， $\cos\theta=\dfrac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}$ である。

(ii) 3点 $\mathrm{O},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ が定める平面上の点 $(x,\ y,\ z)$ は

x-\frac{\boxed{\text{(27)}}}{\boxed{\text{(28)}}}\,y-\frac{\boxed{\text{(29)}}}{\boxed{\text{(30)}}}\,z=0

を満たす。

(iii) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を $s$ で表すと， $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\sqrt{s^2-\boxed{\text{(31)}}\,s+\boxed{\text{(32)}}}$ である。

(iv) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ となるのは，

t=\frac{\boxed{\text{(33)}}}{\boxed{\text{(34)}}}\,s\qquad\text{または}\qquad t=-\frac{\boxed{\text{(35)}}}{\boxed{\text{(36)}}}\,s+\frac{\boxed{\text{(37)}}}{\boxed{\text{(38)}}}

が成り立つときである。

(v) $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ を $s$ と $t$ で表すと，

|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|=\sqrt{s^2-\frac{\boxed{\text{(39)(40)}}}{\boxed{\text{(41)}}}\,st+\boxed{\text{(42)}}\,t^2}

である。

(vi) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ となる実数の組 $(s,\ t)$ をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

重要知識と着眼点

(i)(iii)(v) 長さと内積を最初にまとめて計算しておく

ベクトルの内積
内積は、二つのベクトルから定まる数。
零ベクトルでない $\vec a,\ \vec b$ のなす角を $\theta$ とすると、
$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta$ 。
成分で計算するときは、対応する成分どうしを掛けて足す。
空間では、 $\vec a=(a_1,a_2,a_3),\ \vec b=(b_1,b_2,b_3)$ に対して、
$\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ 。

ベクトルの長さの扱い方
図形として長さを考える。計算するときは2乗して内積を使う。
$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ 。

$\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の実数倍で表されています。
そのため、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ のように、どのベクトルも $\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の組み合わせになります。

長さは2乗して展開するので、必要なのは次の6つの値だけです。

|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}

最初にこれらを計算しておけば、(i)(iii)(iv)(v) はすべて代入するだけで済みます。
特に $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$ なので、 $s$ は $\mathrm{O}$ から $\mathrm{P}$ までの向きを含めた距離を表します。

(ii) 原点を通る平面は、法線ベクトルで決める

平面の方程式と法線ベクトル
平面に垂直なベクトルを法線ベクトルという。
$ax+by+cz+d=0$ （ $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ ）の法線ベクトルは $(a,b,c)$ 。
点 $(x_0,y_0,z_0)$ を通るなら、 $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ と表せる。

求める平面は原点 $\mathrm{O}$ を通るので、方程式は $ax+by+cz=0$ の形です。
法線ベクトル $(a,b,c)$ は $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ の両方に垂直なので、内積が $0$ という2つの式から比 $a:b:c$ が決まります。
答えの形は $x$ の係数が $1$ なので、 $a=1$ として $b,\ c$ を求めればよいと分かります。

(iv) 両辺を平方完成すると、「2乗どうしが等しい」形になる

$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2$ も $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2$ も、1つの文字の2次式です。
それぞれ平方完成すると、どちらも「(2乗) $+5$ 」の形になります。
$X^2=Y^2$ は $X=Y$ または $X=-Y$ と同じなので、答えの形どおり2本の直線の式が得られます。

なお、 $5$ は直線 $\mathrm{OB}$ 、 $\mathrm{OC}$ と点 $\mathrm{A}$ の距離の2乗にあたり、どちらも $\sqrt5$ です。

(vi) 2つの等式に分け、(iv) を使って文字を1つ減らす

$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ は、次の2つが同時に成り立つことと同じです。

|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|\quad\text{かつ}\quad|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|

1つ目は (iv) で $t$ を $s$ の式で表す条件に直してあります。
これを2つ目に代入すれば、 $s$ だけの2次方程式になります。
(iv) の答えが2通りあるので、2つの場合をそれぞれ調べ、実数解があるかどうかを判別式で確かめます。

図形としては、三角形 $\mathrm{APQ}$ が正三角形になる条件です。
点 $\mathrm{A}$ は平面 $\mathrm{OBC}$ 上にないので、 $\mathrm{P},\ \mathrm{Q}$ が $\mathrm{A}$ と重なることはありません。

解答

準備：長さと内積

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=(3,0,0)$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left(\dfrac23,\dfrac23,\dfrac13\right)$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=(2,1,2)$ より、

\begin{aligned} &|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=9,\qquad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2=\frac49+\frac49+\frac19=1,\qquad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=4+1+4=9,\\ &\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2,\qquad \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=6,\qquad \overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac43+\frac23+\frac23=\frac83. \end{aligned}

(i)

$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$ 、 $|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3$ だから、

\cos\theta=\frac{\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}||\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}=\frac{8/3}{1\cdot3}=\frac89.

(25) は $8$ 、(26) は $9$ である。

(ii)

$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ は平行でないので、3点 $\mathrm{O},\ \mathrm{B},\ \mathrm{C}$ は1つの平面を定める。
この平面の法線ベクトルを $\vec n=(a,b,c)$ とする。
$\vec n\perp\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ 、 $\vec n\perp\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ より、

2a+2b+c=0,\qquad 2a+b+2c=0.

2式の差をとると $b-c=0$ である。
$a=1$ とすると、 $b=c$ と $2+3b=0$ から $b=c=-\dfrac23$ となる。
平面は原点を通るから、その方程式は

x-\frac23y-\frac23z=0.

(27) は $2$ 、(28) は $3$ 、(29) は $2$ 、(30) は $3$ である。

補足通る点を代入して確かめる

$\mathrm{B}$ を代入すると $\dfrac23-\dfrac49-\dfrac29=0$ 、 $\mathrm{C}$ を代入すると $2-\dfrac23-\dfrac43=0$ となり、どちらも満たします。

(iii)

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ だから、

|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=s^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-2s\,\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}+|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2=s^2-4s+9.

よって、 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\sqrt{s^2-4s+9}$ であり、(31) は $4$ 、(32) は $9$ である。

(iv)

同様に、 $\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ だから、

|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=9t^2-12t+9.

長さは $0$ 以上なので、 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ は $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2$ と同じである。
両辺を平方完成すると、

(s-2)^2+5=(3t-2)^2+5 \iff (s-2)^2=(3t-2)^2.

よって、 $3t-2=s-2$ または $3t-2=-(s-2)$ であり、

t=\frac13s\qquad\text{または}\qquad t=-\frac13s+\frac43.

(33) は $1$ 、(34) は $3$ 、(35) は $1$ 、(36) は $3$ 、(37) は $4$ 、(38) は $3$ である。

(v)

$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ だから、

|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=s^2|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2-2st\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}+t^2|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=s^2-\frac{16}{3}st+9t^2.

(39)(40) は $16$ 、(41) は $3$ 、(42) は $9$ である。

(vi)

条件は、 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ かつ $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$ と同じである。
(iv) の2つの場合に分けて調べる。

$t=\dfrac13s$ のとき

|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=s^2-\frac{16}{9}s^2+s^2=\frac29s^2.

$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$ より $s^2-4s+9=\dfrac29s^2$ 、すなわち

7s^2-36s+81=0.

判別式を $D$ とすると $\dfrac D4=18^2-7\cdot81=324-567<0$ なので、実数解はない。

$t=\dfrac{4-s}{3}$ のとき

\begin{aligned} |\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2&=s^2-\frac{16}{9}s(4-s)+(4-s)^2\\ &=\frac{34s^2-136s+144}{9}. \end{aligned}

$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2$ より $9(s^2-4s+9)=34s^2-136s+144$ 、すなわち

25s^2-100s+63=0.

これを解くと、

s=\frac{50\pm\sqrt{50^2-25\cdot63}}{25}=\frac{50\pm5\sqrt{37}}{25}=\frac{10\pm\sqrt{37}}{5}.

このとき、 $t=\dfrac{4-s}{3}=\dfrac{10\mp\sqrt{37}}{15}$ （複号同順）である。

以上より、求める組は

(s,\ t)=\left(\frac{10+\sqrt{37}}{5},\ \frac{10-\sqrt{37}}{15}\right),\ \left(\frac{10-\sqrt{37}}{5},\ \frac{10+\sqrt{37}}{15}\right).

補足3辺の長さを計算して確かめる

求めた組では $s-2=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{5}$ 、 $3t-2=\mp\dfrac{\sqrt{37}}{5}$ （複号同順）です。
(iv) の式から $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=\dfrac{37}{25}+5=\dfrac{162}{25}$ となります。
小数で計算すると $s\fallingdotseq3.2166$ 、 $t\fallingdotseq0.2611$ のとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2\fallingdotseq6.48=\dfrac{162}{25}$ で、3辺の長さが一致します。

別解

(iv) の平方完成の形を活かし、 $u=s-2$ 、 $v=3t-2$ とおく。
$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2=u^2+5$ 、 $|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|^2=v^2+5$ で、 $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ は $v=u$ または $v=-u$ である。
また、 $s=u+2$ 、 $3t=v+2$ より、

|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=s^2-\frac{16}{9}s\cdot3t+(3t)^2=(u+2)^2-\frac{16}{9}(u+2)(v+2)+(v+2)^2.

$v=u$ のとき、 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=\dfrac29(u+2)^2$ である。
$\dfrac29(u+2)^2=u^2+5$ を整理すると $7u^2-8u+37=0$ で、 $\dfrac D4=16-259<0$ より実数解はない。

$v=-u$ のとき、 $(u+2)(v+2)=(2+u)(2-u)=4-u^2$ だから、

|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|^2=2u^2+8-\frac{16}{9}(4-u^2)=\frac{34}{9}u^2+\frac89.

$\dfrac{34}{9}u^2+\dfrac89=u^2+5$ より $u^2=\dfrac{37}{25}$ 、 $u=\pm\dfrac{\sqrt{37}}{5}$ である。
$s=2+u$ 、 $t=\dfrac{2-u}{3}$ に戻すと、本解と同じ2組が得られる。

問題データ

主分野: ベクトル
関連分野: なし
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 20分

講評

空間ベクトルの内積と長さの計算を積み重ね、最後に正三角形の条件を求める問題です。
(i)〜(v) は誘導が細かく、6つの長さと内積を正しく求めておけば、代入と整理だけで答えが出ます。
ここまでは確実に取り切りたいところです。

計算ミスが起こりやすいのは、次の2か所です。

$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=2$ 、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=6$ を使う展開で、 $2s$ や $2t$ の「2倍」を落とすこと。
(v) の $st$ の係数で、内積 $\dfrac83$ の2倍を $\dfrac{16}{3}$ とせずに $\dfrac83$ のまま書くこと。

(iv) は、両辺を平方完成して $(s-2)^2=(3t-2)^2$ と見抜けるかどうかで、計算の速さが大きく変わります。
答えの欄が「 $t=\cdots$ または $t=\cdots$ 」と2つに分かれていることも、2乗どうしが等しい形になるヒントです。

差がつくのは (vi) です。
(iv) の2つの場合を両方調べ、 $t=\dfrac13s$ の場合は判別式が負で解がないことを確認する必要があります。
片方の場合だけで答えを出すと、もう一方に解がないことを確かめないまま答えることになります。
答えのみを記入する形式なので、2組の $(s,t)$ の対応（複号の向き）を取り違えないことも大切です。

難易度はB、目標時間は20分としました。
(i)〜(v) は標準的ですが、(vi) で2つの場合を調べ、根号を含む答えまで正確に解き切るまでに時間がかかるためです。

同じ試験の問題

1慶應義塾大学 2026 商学部（A方式）

以下の問いに答えなさい。

(i) Aさんはバスケットボールのシュート練習を4日間行い，練習回数は1日目が100回，2日目が110回，3日目が90回，4日目が100回であった。このとき，1日目から3日目までの3日間の練習回数の分散は $\frac{(1)(2)(3)}{(4)}$ である。また，1日目から4日目までの4日間の練習回数の分散は $(5)(6)$ である。

(ii) 座標平面上の点 $(x, y)$ が連立不等式

lo g_{x} y + 3 lo g_{y} x ≦ 4, 2 ≦ x ≦ 4, y > 1

の表す領域を動くとき， $x + y$ の最大値は $(7)(8)$ である。

(iii) 数列 ${a_{n}}$ の一般項 $a_{n}$ が

\frac{3 - n}{n + 3} a_{n} = - a_{n} + \frac{n}{2}

を満たすとき，

a_{n} = \frac{(9)}{(10)(11)} n^{2} + \frac{(12)}{(13)} n

であり，

k = 1 \sum n a_{k} = \frac{(14)}{(15)(16)} n^{3} + \frac{(17)}{(18)} n^{2} + \frac{(19)}{(20)(21)} n

である。

(iv) 空欄 $(22)$ 〜 $(24)$ に当てはまる最も適切な文を下の選択肢から選び，その番号を解答用紙A（マークシート）の解答欄 $(22)$ 〜 $(24)$ にマークしなさい。

必要条件であるが十分条件でない

十分条件であるが必要条件でない

必要十分条件である

必要条件でも十分条件でもない

実数 $x$ に関する3つの条件 $p, q, r$ を次のように定める。

p : ∣ x ∣ ≦ 1 q : x^{2} + x - 2 ≦ 0 r : x < - 1

このとき，以下が成り立つ。

$r$ は $q$ であるための $(22)$ 。
$p$ は「 $q$ かつ $\overline{r}$ 」であるための $(23)$ 。
$\overline{p}$ は「 $\overline{q または r}$ 」であるための $(24)$ 。

(v) $0 ≦ θ < 2 π$ のとき， $cos 3 θ - 6 cos^{2} θ + 5 = 0$ を満たす $cos θ$ の値をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

【解答・解説】2026年慶應義塾大学商学部（A方式）数学第1問

3慶應義塾大学 2026 商学部（A方式）

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 8 x + 16$ とし，曲線 $C : y = f (x)$ と2つの直線 $l : y = g (x)$ ， $m : y = h (x)$ を考える。直線 $l$ は点 $(4, 16)$ における曲線 $C$ の接線である。また，直線 $l$ と直線 $m$ は平行であり，直線 $m$ は原点を通る。

(i) $g (x) = (43) x - (44)(45)$ である。

(ii) 曲線 $C$ と直線 $m$ の交点の $x$ 座標を小さい順に $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ とすると

x_{1} x_{2} x_{3} = (46) - (47) (48), = (49), = (50) + (51) (52)

である。また， $f (x_{2}) = (53)(54)$ である。

(iii) $\int_{2}^{4} {f (x) - g (x)} d x = (55)(56)$ である。

(iv) $y = ∣ g (x) ∣$ のグラフと曲線 $C$ の共有点は2つあり，それらの座標は $(4, 16)$ と $（ア）$ である。また， $\int_{0}^{4} {f (x) - ∣ g (x) ∣} d x = （イ）$ である。

(v) $\int_{0}^{2} {f (x) - h (x)} d x = （ウ）$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
問題I(v)，II(vi)，およびIII(iv)(v)の解答は解答用紙Bの所定の位置に記入し，それ以外の問題の解答は解答用紙A（マークシート）にマークしなさい。
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学商学部（A方式）数学第3問

4慶應義塾大学 2026 商学部（A方式）

1から8までの整数を1つずつ書いた8枚のカードがあり，そのうち奇数が書かれたカード4枚が箱Xに，偶数が書かれたカード4枚が箱Yに入っている。A，B，C，Dの4人が次のようにカードを引く。

まず，A，Bがこの順に箱Xからカードを1枚ずつ引く。
次に，C，Dがこの順に箱Yからカードを1枚ずつ引く。

ただし，引いたカードはX，Yいずれの箱にも戻さないものとする。A，B，C，Dが引いたカードに書かれた数をそれぞれ $a, b, c, d$ とする。

(i) $a - b = 2$ である確率は $\frac{(57)}{(58)}$ であり， $∣ a - b ∣ = 2$ である確率は $\frac{(59)}{(60)}$ である。

(ii) $∣ a - c ∣ = 1$ である確率は $\frac{(61)}{(62)(63)}$ であり， $c - a = d - b = 1$ である確率は $\frac{(64)}{(65)(66)}$ である。

(iii) $∣ a - c ∣$ の期待値は $\frac{(67)(68)}{(69)}$ である。

(iv) $∣ a - c ∣ = 1$ である事象を $S$ とし， $∣ b - d ∣ = 1$ である事象を $T$ とする。 $S$ が起こったときの $T$ が起こる条件付き確率は $\frac{(70)(71)}{(72)(73)}$ である。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学商学部（A方式）数学第4問

同じ大学の問題

5慶應義塾大学 2026 理工学部

（1） $i$ を虚数単位とし，実数 $θ$ に対して $f (θ) = cos θ + i sin θ$ とおく。実数 $a$ に対して， $f (θ_{1}) = {f (a)}^{3}$ を満たす $θ_{1}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{1} = ナ$ であり，

\frac{f ( θ _{2} ) + f ( - θ _{2} )}{2} = cos^{2} a - sin^{2} a

を満たす $θ_{2}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{2} = ニ$ である。

（2） $θ$ の関数 $cos^{4} θ$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b + c cos 2 θ + d cos 4 θ$ の形で表すと， $cos^{4} θ = ヌ$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0 ≦ y ≦ x$ の表す領域において方程式 $(x^{2} + y^{2})^{3} = (x^{2} - y^{2})^{2}$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考えると， $C$ の極方程式は $ネ$ となる。ただし， $θ$ の動く範囲は $ノ$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $ハ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第5問

2慶應義塾大学 2026 理工学部

空間内に点 $P$ と平面 $α$ をとる。点 $P$ と平面 $α$ 上の3点 $O$ ， $A$ ， $B$ に対して，

OP = 2, OA = 2, OB = 3, OP \cdot OB = OA \cdot OB = - 2

が成り立つとする。線分 $AB$ 上の点 $Q$ を， $OQ$ と $OB$ が垂直であるようにとる。

（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第2問

4慶應義塾大学 2026 理工学部

複素数平面上の異なる3点 $A (α)$ ， $B (β)$ ， $C (γ)$ に対して，等式

(p + i) α - 2 pβ + (p - i) γ = 0

が成り立つとする。ただし， $i$ は虚数単位であり， $p$ は正の数である。

（1）線分 $AC$ の中点を $M$ とする。 $M$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに， $M$ を表す複素数を用いて，線分 $AC$ と直線 $BM$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ は， $z_{1} = β$ ， $z_{2} = γ$ であり，等式

(p + i) α - 2 p z_{n} + (p - i) z_{n + 1} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

を満たすとする。このとき，3点 $α$ ， $z_{n}$ ， $z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_{n}$ とする。

（2） $∣ α - γ ∣ = p$ のとき， $S_{1}$ と $S_{2}$ をそれぞれ $p$ の式で表すと， $S_{1} = チ$ ， $S_{2} = ツ$ となる。

さらに， $p = 3$ ， $∣ α - γ ∣ = 3$ とする。

（3） $\frac{S _{n}}{S _{1}}$ を $n$ のみを用いた式で表すと， $\frac{S _{n}}{S _{1}} = テ$ となる。

（4） $α$ と $β$ が， $α < β$ を満たす実数である場合を考える。また， $N$ を $z_{N + 1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき， $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $z_{N}$ ， $z_{N + 1}$ を頂点とする多角形の面積は $ト$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第4問

3慶應義塾大学 2026 理工学部

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。 $n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき， $a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $シ$ である。「 $a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_{n}$ とおく。 $n = 5$ のとき， $M_{5} = ス$ である。また，

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g \frac{n ! M _{n}}{n ^{n}} = セ

である。ただし， $lo g x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c + 1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「 $c = 0$ である」という事象を $C$ とし，「 $d = 0$ である」という事象を $D$ とする。 $n = 4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $ソ$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $タ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第3問

1慶應義塾大学 2026 理工学部

座標平面上において，原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $A (3, 0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $ア$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $イ < t < ウ$ である。

以下， $t$ が $イ < t < ウ$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $M$ とする。

（3）線分 $OM$ の長さを $t$ の式で表すと， $エ$ である。

（4）点 $M$ の軌跡の方程式は $オ = 0$ である。ただし， $x$ の範囲は $0 ≦ x < ア$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $O$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。 $V$ が最大となる $t$ の値は $カ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第1問

同じ分野の問題

3早稲田大学 2026 商学部（数学型）

空間において，点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$ ，円 $S$ を底面にもち点 $P$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ を $AB = CD = 2$ ， $AB ⊥ CD$ となるようにとる。直線 $CD$ を含み， $PA$ と平行な平面を $α$ とする。 $PA = 6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で， $V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを $β_{r}$ とする。 $α$ と $β_{r}$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき， $l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $O$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を通り， $α$ と平行な平面を $α_{t}$ とする。 $t$ を $0 < t < 1$ の範囲で変化させたとき， $α_{t}$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第3問

1早稲田大学 2026 商学部（数学型）

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に， $∠ A$ が鈍角である鈍角三角形 $ABC$ が内接している。 $A$ を含まない弧 $BC$ 上に動点 $P$ をとる。点 $P$ を含まない弧 $AB$ と $2$ つの弦 $AP$ ， $BP$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。 $∠ C = α$ のとき， $D$ の最大値を $α$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11} + 17 x + 5 = 0$ の解を $α_{1}, α_{2}, α_{3}, \dots\dots, α_{11}$ とする。 $11$ 次の多項式 $f (x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき， $f (x) =$ ［イ］である。

（i） $x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f (x) = 0$ は， $α_{1}^{2}, α_{2}^{2}, α_{3}^{2}, \dots\dots, α_{11}^{2}$ を解にもつ。

（3） $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $ABCD$ を考える。正の整数 $n$ に対し， $4 n + 1$ 個の点 $P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots\dots, P_{4 n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$ （ $k = 0, 1, 2, \dots\dots, n - 1$ ）に対し， $P_{4 k}, P_{4 k + 1}, P_{4 k + 2}, P_{4 k + 3}$ は，それぞれ辺 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 上にある。
（ii） $P_{0} = A, P_{4 n} = B$ 。

このとき，

i = 0 \sum 4 n - 1 P_{i} P_{i + 1}

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4） $n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $O$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ を考える。点 $O$ から正 $n$ 角形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ を含む平面に下ろした垂線を $OH$ とする。 $OH = 2$ のとき， $1 ≦ i < j ≦ n$ である $i, j$ に対する内積 $OA_{i} \cdot OA_{j}$ の総和

i = 1 \sum n - 1 (j = i + 1 \sum n OA_{i} \cdot OA_{j})

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第1問

3早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

座標空間内に点 $A (0, 0, 1)$ ，点 $B (1, 1, 0)$ ，および実数 $a$ を用いて表される点 $P (a, 0, 0)$ をとる。さらに，2点 $(0, 2, 0)$ ， $(0, 0, 2)$ を通る直線を $ℓ$ として，3点 $A, B, P$ が定める平面と直線 $ℓ$ との交点を $Q$ とする。

（1）点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $A, B, P, Q$ が四角形 $APBQ$ を成し，線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3） $a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $APBQ$ の面積を $a$ を用いて表せ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第3問

【解答・解説】2026年麻布大学獣医学科第Ⅱ期数学第3問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期B日程

以下の問いに答えよ。

（1） $_{2025} C_{1} +_{2025} C_{2} + \dots +_{2025} C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $ア$ である。

（2） $0 ≦ θ ≦ π$ とする。 $tan θ = - 3$ のとき $2 cos θ + sin θ = \frac{イ}{ウエ}$ である。

（3） $i$ を虚数単位とする。 $x$ の2次方程式 $x^{2} + (i - a) x - 5 + (a - 3) i = 0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は， $a = \frac{オ}{カ}, キ$ であり，実数解はそれぞれ $x = \frac{ク}{ケ}, コサ$ である。

（4） $a = (3, 7), b = (1, - 3)$ のとき $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値は $\frac{シ}{ス}$ であり，最小値は $\frac{セソタ}{チ}$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第1問

1麻布大学 2024 獣医学科第Ⅱ期

以下の問いに答えよ。

（1） $x, y > 0$ とする。関数 $(x + \frac{3}{y}) (y + \frac{3}{x})$ の最小値は $アイ$ である。

（2） $- \frac{π}{2} < θ < \frac{π}{2}$ である $θ$ について $sin θ + cos θ = \frac{2}{3}$ が成り立つとき， $sin θ - cos θ = \frac{ウエ}{オ}$ である。

（3） $k$ を定数とする。 $x$ の整式 $x^{2} - 2 y^{2} + x y + k x + 2 y + 4$ が， $x, y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき， $k$ の値は $カキ$ または $ク$ である。

（4） $a = (- 5, 7), b = (6, - 4), c = (21, 19)$ とする。 $c = m a + n b$ を満たす実数 $m, n$ は $m = ケ, n = コサ$ である。

（5）2直線

ℓ_{1} ℓ_{2} : k x - y + 4 k + 5 = 0, : - 3 x + (2 k - 1) y - 5 = 0

がある。直線 $ℓ_{1}$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $(シス, セ)$ を通る。また，2直線 $ℓ_{1}, ℓ_{2}$ が平行になるときの $k$ の値は， $ソタ$ または $\frac{チ}{ツ}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $テト$ 通りある。

重要知識と着眼点

(i)(iii)(v) 長さと内積を最初にまとめて計算しておく

ベクトルの内積

ベクトルの長さの扱い方

(ii) 原点を通る平面は、法線ベクトルで決める

平面の方程式と法線ベクトル

(iv) 両辺を平方完成すると、「2乗どうしが等しい」形になる

(vi) 2つの等式に分け、(iv) を使って文字を1つ減らす

解答

準備：長さと内積

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

(vi)

別解

問題データ

講評

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