【解答・解説】2026年 慶應義塾大学 商学部（A方式） 数学 第1問

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に，3点

をとる。さらに，$s$ と $t$ を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ となる点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ を定める。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ のなす角を $\theta$ とすると，$\cos \theta =\frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}$ である。

(ii) 3点 $\mathrm{O},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が定める平面上の点 $(x,y,z)$ は

を満たす。

(iii) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を $s$ で表すと，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\sqrt{s^2-\boxed{\text{(31)}}s+\boxed{\text{(32)}}}$ である。

(iv) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ となるのは，

が成り立つときである。

(v) $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ を $s$ と $t$ で表すと，

である。

(vi) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ となる実数の組 $(s,t)$ をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

$f(x)=x^3-6x^2+8x+16$ とし，曲線 $C:y=f(x)$ と2つの直線 $l:y=g(x)$，$m:y=h(x)$ を考える。直線 $l$ は点 $(4,16)$ における曲線 $C$ の接線である。また，直線 $l$ と直線 $m$ は平行であり，直線 $m$ は原点を通る。

(i) $g(x)=\boxed{\text{(43)}}x-\boxed{\text{(44)(45)}}$ である。

(ii) 曲線 $C$ と直線 $m$ の交点の $x$ 座標を小さい順に $x_1,x_2,x_3$ とすると

である。また，$f(x_2)=\boxed{\text{(53)(54)}}$ である。

(iii) ${\int }_2^4\{f(x)-g(x)\}dx=\boxed{\text{(55)(56)}}$ である。

(iv) $y=|g(x)|$ のグラフと曲線 $C$ の共有点は2つあり，それらの座標は $(4,16)$ と $\boxed{\text{（ア）}}$ である。また，${\int }_0^4\{f(x)-|g(x)|\}dx=\boxed{\text{（イ）}}$ である。

(v) ${\int }_0^2\{f(x)-h(x)\}dx=\boxed{\text{（ウ）}}$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
問題I(v)，II(vi)，およびIII(iv)(v)の解答は解答用紙Bの所定の位置に記入し，それ以外の問題の解答は解答用紙A（マークシート）にマークしなさい。
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

1から8までの整数を1つずつ書いた8枚のカードがあり，そのうち奇数が書かれたカード4枚が箱Xに，偶数が書かれたカード4枚が箱Yに入っている。A，B，C，Dの4人が次のようにカードを引く。

• まず，A，Bがこの順に箱Xからカードを1枚ずつ引く。
  
• 次に，C，Dがこの順に箱Yからカードを1枚ずつ引く。
  

ただし，引いたカードはX，Yいずれの箱にも戻さないものとする。A，B，C，Dが引いたカードに書かれた数をそれぞれ $a,b,c,d$ とする。

(i) $a-b=2$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}}}$ であり，$|a-b|=2$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(59)}}}{\boxed{\text{(60)}}}$ である。

(ii) $|a-c|=1$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(61)}}}{\boxed{\text{(62)(63)}}}$ であり，$c-a=d-b=1$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(64)}}}{\boxed{\text{(65)(66)}}}$ である。

(iii) $|a-c|$ の期待値は $\frac{\boxed{\text{(67)(68)}}}{\boxed{\text{(69)}}}$ である。

(iv) $|a-c|=1$ である事象を $S$ とし，$|b-d|=1$ である事象を $T$ とする。$S$ が起こったときの $T$ が起こる条件付き確率は $\frac{\boxed{\text{(70)(71)}}}{\boxed{\text{(72)(73)}}}$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

空間内に点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ をとる。点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ 上の3点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ に対して，

が成り立つとする。線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が垂直であるようにとる。

（1）$\cos \angle \mathrm{POB}=\boxed{\text{キ}}$ である。

（2）$t=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ とおく。このとき，$t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3）$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）点 $\mathrm{P}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線と $\alpha$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表すと，$l=\boxed{\text{ケ}}$ となる。

（5）点 $\mathrm{P}$ が平面 $\alpha$ 上にあるのは，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の値が $\boxed{\text{コ}}$ または $\boxed{\text{サ}}$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha )$，$\mathrm{B}(\beta )$，$\mathrm{C}(\gamma )$ に対して，等式

が成り立つとする。ただし，$i$ は虚数単位であり，$p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに，$\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n(n=1,2,3,\cdots \cdots )$ は，$z_1=\beta$，$z_2=\gamma$ であり，等式

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$，$z_n$，$z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2）$|\alpha -\gamma |=p$ のとき，$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと，$S_1=\boxed{\text{チ}}$，$S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに，$p=\sqrt{3}$，$|\alpha -\gamma |=\sqrt{3}$ とする。

（3）$\frac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと，$\frac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4）$\alpha$ と $\beta$ が，$\alpha <\beta$ を満たす実数である場合を考える。また，$N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき，$z_1$，$z_2$，$\cdots \cdots$，$z_N$，$z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。$n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき，$a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $\boxed{\text{シ}}$ である。「$a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_n$ とおく。$n=5$ のとき，$M_5=\boxed{\text{ス}}$ である。また，

である。ただし，$\log x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c+1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「$c=0$ である」という事象を $C$ とし，「$d=0$ である」という事象を $D$ とする。$n=4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $\boxed{\text{ソ}}$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $\boxed{\text{タ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

座標平面上において，原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ である。

以下，$t$ が $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $\mathrm{M}$ とする。

（3）線分 $\mathrm{OM}$ の長さを $t$ の式で表すと，$\boxed{\text{エ}}$ である。

（4）点 $\mathrm{M}$ の軌跡の方程式は $\boxed{\text{オ}}=0$ である。ただし，$x$ の範囲は $0\leqq x<\boxed{\text{ア}}$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $\mathrm{O}$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。$V$ が最大となる $t$ の値は $\boxed{\text{カ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

（1）$a>0$ とする。$2x^2-(4a+3)x+6a$ を因数分解すると $(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}}a)$ となるから，$x$ の不等式 $2x^2-(4a+3)x+6a<0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $\boxed{\text{エ}}<a\leqq \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

（2）$\boxed{a}\boxed{a}\boxed{a}\boxed{b}\boxed{b}\boxed{c}\boxed{c}$ の7文字の並べ方は全部で $\boxed{\text{キクケ}}$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $\boxed{\text{コサ}}$ 通りある。

（3）不等式 $6x^2-13x+6\leqq 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\leqq x\leqq \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。 $y=5x^2-8x+7$ とすると，$x$ がこの範囲を動くとき，$y$ の最大値は $\frac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（4）$\cos 3\theta$ を $\cos \theta$ を用いて表すと $\cos 3\theta =\boxed{\text{テ}}{\cos }^3\theta -\boxed{\text{ト}}\cos \theta$ となり，$0\leqq \theta <2\pi$ において $\cos 3\theta +\cos \theta =0$ をみたす $\theta$ で最大のものは $\theta =\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）${}_{2025}{C}_1+{}_{2025}{C}_2+\cdots +{}_{2025}{C}_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq \theta \leqq \pi$ とする。$\tan \theta =-3$ のとき $2\cos \theta +\sin \theta =\frac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec{a}=(3,7),\vec{b}=(1,-3)$ のとき $|\vec{a}+t\vec{b}|$ を最小にする $t$ の値は $\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\frac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\frac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\frac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\frac{x+y}{5}=\frac{y+z}{2}=\frac{z+x}{3}(\ne 0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi ,0\leqq y<2\pi )$ の解は，$x=\frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi ,y=\frac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $({\log }_{2}x{)}^{{\log }_{2}x}=x^3(x\ne 1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq 1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

（1）$x,y$ が $x+y=5,x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos 2\theta -3\sin \theta -1\left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta =\frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\frac{3}{y}\right)\left(y+\frac{3}{x}\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ である $\theta$ について $\sin \theta +\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{3}$ が成り立つとき，$\sin \theta -\cos \theta =\frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec{a}=(-5,7),\vec{b}=(6,-4),\vec{c}=(21,19)$ とする。$\vec{c}=m\vec{a}+n\vec{b}$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 ${\ell }_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 ${\ell }_1,{\ell }_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\frac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。

（1）$x=\frac{8-3\sqrt{6}}{4+\sqrt{6}}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\frac{1}{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\frac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq \boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq \boxed{\text{セソ}},\boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\frac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\frac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。