【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第3問

公開 2026.10.06

空間において，点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$ ，円 $S$ を底面にもち点 $\mathrm{P}$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $\mathrm{A}$ ， $\mathrm{B}$ ， $\mathrm{C}$ ， $\mathrm{D}$ を $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$ ， $\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ となるようにとる。直線 $\mathrm{CD}$ を含み， $\mathrm{PA}$ と平行な平面を $\alpha$ とする。 $\mathrm{PA}=6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で， $V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを $\beta_r$ とする。 $\alpha$ と $\beta_r$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき， $l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $\mathrm{O}$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を通り， $\alpha$ と平行な平面を $\alpha_t$ とする。 $t$ を $0<t<1$ の範囲で変化させたとき， $\alpha_t$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

重要知識と着眼点

全体　座標を入れ、平面 $\alpha$ の上に長さを測れる座標を作る

空間内の4点が同一平面上にある条件

$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が同一直線上にあるとき、4点 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ は同一平面上にある。

$\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が同一直線上にないとき、同一平面上にある $\iff$ $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ を満たす実数 $s,t$ が存在する。

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$ は、円 $S$ の直径の長さです。
したがって $\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{CD}$ はどちらも $\mathrm{O}$ を通る直径で、互いに垂直です。
この2本を $x$ 軸、 $y$ 軸にとり、頂点 $\mathrm{P}$ を $z$ 軸上に置くと、すべての点の座標が決まります。
直円錐なので $\mathrm{P}$ は $\mathrm{O}$ の真上にあり、高さは $\mathrm{PO}=\sqrt{\mathrm{PA}^2-\mathrm{OA}^2}=\sqrt{35}$ です。

平面 $\alpha$ は、 $\mathrm{O}$ を通り、直線 $\mathrm{CD}$ の向きと $\mathrm{PA}$ の向きをもつ平面です。
上の知識の2のように、 $\alpha$ 上の点は「 $\mathrm{O}$ ＋ 2つの向きのベクトルの実数倍の和」で表せます。
2つの向きの単位ベクトルは互いに垂直なので、それぞれの実数倍の係数 $(y,u)$ は $\alpha$ 上の直交座標になります。
長さや面積をこの座標でそのまま測れるので、空間の問題を平面の問題に直せます。

円錐 $V$ は、高さ $z$ で切ると半径 $1-\dfrac{z}{\sqrt{35}}$ の円になる立体です。
この条件を、 $\alpha$ 上の座標 $(y,u)$ で書き直すのが方針です。

底面の円Sに直径ABとCDが垂直に引かれ、頂点Pをもつ直円錐。母線PAの長さは6。CDを含みPAに平行な平面αで切った切り口を塗っている。切り口は放物線と線分CDで囲まれ、放物線の頂点は母線PBの中点M。高さ方向は縮めて描いた模式図 — 円錐 $V$ と平面 $\alpha$ の切り口（模式図）

（1） $\beta_r$ の上で「円と直線」の問題に直す

$\beta_r$ は円 $S$ と平行なので、その上では、 $V$ との共通部分は半径 $r$ の円です。
$\alpha$ との交線はこの円の上を通る直線なので、共通部分の長さは「円の中心と直線の距離」から三平方の定理で求められます。

距離 $d$ は、交線が直線 $\mathrm{CD}$ と平行であることに注目します。
交線も $\mathrm{O}$ も平面 $\alpha$ 上にあるので、 $\alpha$ 上の座標を使えば、平行な2直線の間の距離として読み取れます。

（2）共通部分は放物線と線分で囲まれた図形になる

放物線と直線で囲まれた面積（1/6公式）
放物線の式の $x^2$ の係数を $a$ 、2つの交点の $x$ 座標を $\alpha<\beta$ とすると、
$S=\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$ 。

関数の最大・最小の求め方
定義域を確認し、微分して増減を調べる。極値や区間の端の値を調べ、最大・最小を判断する。
2次関数は平方完成してグラフを描いても求められる。

（1）で求めた $l$ と $d$ の関係を見ると、 $l$ は $d$ の1次式の平方根です。
つまり、 $\alpha$ と $V$ の共通部分の境界のうち、側面上の曲線は、 $\alpha$ 上の座標で見ると放物線です。
円錐を母線と平行な平面で切ると、切り口に放物線が現れます。

$\alpha_t$ は、 $\alpha$ を直線 $\mathrm{AB}$ の方向に平行移動した平面です。
同じ座標を $\alpha_t$ 上にも作ると、共通部分は「放物線」と「底面上の線分」で囲まれた図形になります。
面積は1/6公式で求められ、 $t$ の関数になります。

面積の式には根号が残るので、2乗した式の増減を調べると計算が楽になります。
面積は正なので、2乗が最大になる $t$ で面積も最大になります。

解答

準備

$\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$ は円 $S$ の直径に等しいから、線分 $\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{CD}$ はどちらも $\mathrm{O}$ を通る直径で、 $\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ である。
$V$ は直円錐だから、 $\mathrm{PO}$ は円 $S$ を含む平面に垂直で、 $\mathrm{PO}=\sqrt{6^2-1^2}=\sqrt{35}$ である。
そこで、座標空間に

\begin{aligned} &\mathrm{O}(0,0,0),\quad\mathrm{A}(1,0,0),\quad\mathrm{B}(-1,0,0),\\ &\mathrm{C}(0,1,0),\quad\mathrm{D}(0,-1,0),\quad\mathrm{P}(0,0,\sqrt{35}) \end{aligned}

をとる。
高さ $z$ （ $0\leqq z\leqq\sqrt{35}$ ）で $V$ を切った切り口は、半径 $1-\dfrac{z}{\sqrt{35}}$ の円（周と内部）だから、

V:\ 0\leqq z\leqq\sqrt{35},\quad x^2+y^2\leqq\left(1-\frac{z}{\sqrt{35}}\right)^2.

2つの単位ベクトルを

\vec e=\frac16\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\left(-\frac16,\ 0,\ \frac{\sqrt{35}}6\right),\qquad \vec f=(0,1,0)

とする。
$\vec e\cdot\vec f=0$ 、 $|\vec e|=|\vec f|=1$ である。
$\alpha$ は $\mathrm{O}$ を通り、 $\vec e$ と $\vec f$ に平行な平面だから、 $\alpha$ 上の点は実数 $u,y$ を用いて

u\vec e+y\vec f=\left(-\frac u6,\ y,\ \frac{\sqrt{35}}6u\right)

と表せる。
$\vec e,\vec f$ は垂直な単位ベクトルなので、 $(y,u)$ は $\alpha$ 上の直交座標であり、この座標で測った長さ・面積は実際の長さ・面積に等しい。

（1）

$\beta_r$ は高さ $z=\sqrt{35}(1-r)$ の平面である。ここではまず、底面より上の断面 $0<r<1$ を考える。
$\alpha$ 上の点の高さは $\dfrac{\sqrt{35}}6u$ だから、 $\alpha$ と $\beta_r$ の交線は、 $\alpha$ 上で

u=6(1-r)

を満たす点全体で、点 $\left(r-1,\ 0,\ \sqrt{35}(1-r)\right)$ を通り $\vec f$ に平行な直線である。

この直線上の点 $\left(r-1,\ y,\ \sqrt{35}(1-r)\right)$ が $V$ に含まれる条件は、

(r-1)^2+y^2\leqq r^2\iff y^2\leqq 2r-1.

これが長さが正の線分になるのは $2r-1>0$ 、すなわち $r>\dfrac12$ のときで、

l=2\sqrt{2r-1}.

また、この直線は $\alpha$ 上で $\vec f$ に平行な直線 $u=6(1-r)$ であり、 $\mathrm{O}$ は $\alpha$ 上の座標で $(y,u)=(0,0)$ だから、

d=6(1-r).

以上より、 $\dfrac12<r<1$ で

l=2\sqrt{2r-1},\qquad d=6(1-r).

補足r の両端で確かめる

底面に対応する $r=1$ にまで式を延長すると、 $l=2$ 、 $d=0$ となります。
これは、 $\alpha$ と底面の交線が直径 $\mathrm{CD}$ （長さ $2$ 、 $\mathrm{O}$ を通る）であることと一致します。
底面も $\beta_r$ に含める場合は、上の公式は $\dfrac12<r\leqq1$ で成り立ちます。

$r=\dfrac12$ では $l=0$ で、交線は $V$ と1点だけを共有します。
その点は $\left(-\dfrac12,\ 0,\ \dfrac{\sqrt{35}}2\right)$ 、つまり母線 $\mathrm{PB}$ の中点です。

（2）

線分 $\mathrm{AB}$ を $t:(1-t)$ に内分する点を $\mathrm{T}$ とすると、 $\mathrm{T}(1-2t,\ 0,\ 0)$ である。
$\alpha_t$ は $\mathrm{T}$ を通り $\vec e,\vec f$ に平行な平面だから、 $\alpha_t$ 上の点は

\overrightarrow{\mathrm{OT}}+u\vec e+y\vec f=\left(1-2t-\frac u6,\ y,\ \frac{\sqrt{35}}6u\right)

と表せ、 $(y,u)$ は $\alpha_t$ 上の直交座標である。

この点が $V$ に含まれる条件を求める。
高さの条件 $0\leqq\dfrac{\sqrt{35}}6u\leqq\sqrt{35}$ は $0\leqq u\leqq6$ である。
$w=1-\dfrac u6$ とおくと、切り口の条件は

\begin{aligned} (w-2t)^2+y^2\leqq w^2&\iff y^2\leqq4t(w-t)\\ &\iff u\leqq6(1-t)-\frac{3}{2t}y^2. \end{aligned}

$6(1-t)<6$ だから、 $u\leqq6$ はこの条件から自動的に成り立つ。
よって、 $\alpha_t$ と $V$ の共通部分は、 $(y,u)$ 座標で

0\leqq u\leqq6(1-t)-\frac{3}{2t}y^2

と表される。
これは、放物線 $u=-\dfrac{3}{2t}y^2+6(1-t)$ と直線 $u=0$ で囲まれた図形である。

平面αt上の座標(y,u)で見た切り口。原点は線分ABの内分点T。放物線の頂点はu=6(1-t)、底面上の線分はy=-2√(t(1-t))からy=2√(t(1-t))まで。t=1/4の場合を、縦方向を縮めて描いた模式図 — $\alpha_t$ 上で見た共通部分（ $t=\dfrac14$ 、縦方向を縮めた模式図）

放物線と直線 $u=0$ の交点の $y$ 座標は $y=\pm2\sqrt{t(1-t)}$ だから、1/6公式より、面積 $S(t)$ は

\begin{aligned} S(t)&=\frac16\cdot\frac{3}{2t}\left\{4\sqrt{t(1-t)}\right\}^3\\ &=\frac{1}{4t}\cdot64\,t\sqrt t\,(1-t)\sqrt{1-t}\\ &=16\sqrt{t}\,(1-t)\sqrt{1-t}. \end{aligned}

$S(t)>0$ だから、 $S(t)^2=256\,t(1-t)^3$ が最大になるとき $S(t)$ も最大になる。
$\varphi(t)=t(1-t)^3$ とおくと、

\varphi'(t)=(1-t)^3-3t(1-t)^2=(1-t)^2(1-4t).

\begin{array}{c|ccccc} t & (0) & \cdots & \dfrac14 & \cdots & (1) \\ \hline \varphi'(t) & & + & 0 & - & \\ \varphi(t) & & \nearrow & \dfrac{27}{256} & \searrow & \end{array}

よって、 $\varphi(t)$ は $t=\dfrac14$ で最大値 $\dfrac14\cdot\left(\dfrac34\right)^3=\dfrac{27}{256}$ をとる。
このとき $S(t)^2=256\cdot\dfrac{27}{256}=27$ だから、求める最大値は

S\left(\frac14\right)=\sqrt{27}=3\sqrt3.

補足（1）の結果と t=1/2 で照らし合わせる

$t=\dfrac12$ のとき $\mathrm{T}=\mathrm{O}$ で、 $\alpha_t$ は $\alpha$ そのものです。
上の式では $S\left(\dfrac12\right)=16\cdot\dfrac1{\sqrt2}\cdot\dfrac1{2\sqrt2}=4$ です。

一方、（1）では、 $\alpha$ 上の直線 $u=d=6(1-r)$ の上に、長さ $l=2\sqrt{2r-1}$ の線分があります。
線分の両端の $y$ 座標は $y^2=\left(\dfrac l2\right)^2=2r-1$ を満たし、 $r=1-\dfrac u6$ を代入すると $y^2=1-\dfrac u3$ です。
つまり、 $\alpha$ と $V$ の共通部分は、放物線 $u=-3y^2+3$ と直線 $u=0$ で囲まれた図形です。
2つの交点は $y=\pm1$ なので、1/6公式より面積は $\dfrac36\{1-(-1)\}^3=4$ となり、一致します。

問題データ

主分野: ベクトル
関連分野: 微分・積分
難易度の目安: C（やや難）
目標時間: 30分

講評

円錐を母線と平行な平面で切った切り口の面積を求める、空間図形の問題です。
立体を思い浮かべるだけでは式が立たないので、座標を入れて平面の問題に直せるかどうかが分かれ目です。

最初の関門は、 $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}=2$ から「2本とも直径」と読み取ることです。
ここに気づけば、 $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D},\mathrm{P}$ の座標がすべて決まり、高さ $\sqrt{35}$ も三平方の定理ですぐに出ます。

（1）は、 $\beta_r$ の上で「半径 $r$ の円」と「中心から $1-r$ 離れた直線」の問題に直せば、三平方の定理だけで $l$ が求まります。
$d$ は、交線が $\mathrm{CD}$ と平行であることを使うと、 $\alpha$ の上で平行な2直線の距離として読み取れます。
この小問を落とすと（2）にも響くので、 $r=1$ のとき $l=2$ 、 $d=0$ になることを確かめておきましょう。

差がつくのは（2）です。
（1）は、 $\alpha$ と $V$ の共通部分を、 $\mathrm{CD}$ に平行な線分の集まりとして見るための誘導になっています。
$l^2$ が $d$ の1次式になることから、切り口の曲線部分が放物線だと見抜ければ、1/6公式で面積が一気に求まります。
その際、平面上に「長さがそのまま測れる直交座標」をとることが大切です。
単位ベクトル $\vec e,\vec f$ が垂直であることを答案に書いておけば、面積の計算に説得力が出ます。

最大値を求める部分は、 $S(t)^2=256\,t(1-t)^3$ の増減を調べるだけの標準的な計算です。
求めた $S(t)$ に $t=\dfrac12$ を代入し、（1）の $\alpha$ の場合と一致するかを確かめると、途中の計算ミスに気づけます。

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このとき，

i = 0 \sum 4 n - 1 P_{i} P_{i + 1}

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i = 1 \sum n - 1 (j = i + 1 \sum n OA_{i} \cdot OA_{j})

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

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（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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\frac{f ( θ _{2} ) + f ( - θ _{2} )}{2} = cos^{2} a - sin^{2} a

を満たす $θ_{2}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{2} = ニ$ である。

（2） $θ$ の関数 $cos^{4} θ$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b + c cos 2 θ + d cos 4 θ$ の形で表すと， $cos^{4} θ = ヌ$ となる。

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（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき， $a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $シ$ である。「 $a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_{n}$ とおく。 $n = 5$ のとき， $M_{5} = ス$ である。また，

n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g \frac{n ! M _{n}}{n ^{n}} = セ

である。ただし， $lo g x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c + 1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「 $c = 0$ である」という事象を $C$ とし，「 $d = 0$ である」という事象を $D$ とする。 $n = 4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $ソ$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $タ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

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（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $イ < t < ウ$ である。

以下， $t$ が $イ < t < ウ$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $M$ とする。

（3）線分 $OM$ の長さを $t$ の式で表すと， $エ$ である。

（4）点 $M$ の軌跡の方程式は $オ = 0$ である。ただし， $x$ の範囲は $0 ≦ x < ア$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $O$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。 $V$ が最大となる $t$ の値は $カ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第1問

4麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期E日程

$c$ を定数とする。関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x + c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1） $c = しす$ であり， $f (x)$ は $x = せそ$ で極大値 $たちつ$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(5, f (5))$ における接線の方程式は $y = てとな x - にぬ$ である。

（2） $c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y = f (x)$ を $x$ 軸方向に $- 2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y = x^{3} - ねの x$ となることから，曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $はひふへ$ となる。

重要知識と着眼点

全体 座標を入れ、平面 α\alphaα の上に長さを測れる座標を作る

空間内の4点が同一平面上にある条件

（1）βr\beta_rβr​ の上で「円と直線」の問題に直す

（2）共通部分は放物線と線分で囲まれた図形になる

放物線と直線で囲まれた面積（1/6公式）

関数の最大・最小の求め方

解答

準備

（1）

（2）

問題データ

講評

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