【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第1問

公開 2026.10.06

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に， $\angle\mathrm{A}$ が鈍角である鈍角三角形 $\mathrm{ABC}$ が内接している。 $\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上に動点 $\mathrm{P}$ をとる。点 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ と $2$ つの弦 $\mathrm{AP}$ ， $\mathrm{BP}$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。 $\angle\mathrm{C}=\alpha$ のとき， $D$ の最大値を $\alpha$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11}+17x+5=0$ の解を $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\cdots\cdots,\alpha_{11}$ とする。 $11$ 次の多項式 $f(x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき， $f(x)=$ ［イ］である。

（i） $x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f(x)=0$ は， ${\alpha_1}^2,{\alpha_2}^2,{\alpha_3}^2,\cdots\cdots,{\alpha_{11}}^2$ を解にもつ。

（3） $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $\mathrm{ABCD}$ を考える。正の整数 $n$ に対し， $4n+1$ 個の点 $\mathrm{P}_0,\mathrm{P}_1,\mathrm{P}_2,\cdots\cdots,\mathrm{P}_{4n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$ （ $k=0,1,2,\cdots\cdots,n-1$ ）に対し， $\mathrm{P}_{4k},\mathrm{P}_{4k+1},\mathrm{P}_{4k+2},\mathrm{P}_{4k+3}$ は，それぞれ辺 $\mathrm{AB}$ ， $\mathrm{BC}$ ， $\mathrm{CD}$ ， $\mathrm{DA}$ 上にある。
（ii） $\mathrm{P}_0=\mathrm{A},\ \mathrm{P}_{4n}=\mathrm{B}$ 。

このとき，

\sum_{i=0}^{4n-1}\mathrm{P}_i\mathrm{P}_{i+1}

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4） $n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3\cdots\mathrm{A}_n$ を考える。点 $\mathrm{O}$ から正 $n$ 角形 $\mathrm{A}_1\mathrm{A}_2\mathrm{A}_3\cdots\mathrm{A}_n$ を含む平面に下ろした垂線を $\mathrm{OH}$ とする。 $\mathrm{OH}=2$ のとき， $1\leqq i<j\leqq n$ である $i,\ j$ に対する内積 $\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}_j}$ の総和

\sum_{i=1}^{n-1}\left(\sum_{j=i+1}^{n}\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}_j}\right)

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

重要知識と着眼点

（1）動く部分だけを取り出し、高さが最大になる位置を探す

三角形の面積の求め方

2辺 $a,b$ とその間の角 $\theta$ が分かるとき、 $S=\dfrac12ab\sin\theta$ 。

3辺の長さが分かるとき、余弦定理で $\cos\theta$ を求める → $\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}$ → 面積公式に代入する。

頂点の座標が $(0,0),(a,b),(c,d)$ のとき、 $S=\dfrac12|ad-bc|$ 。原点が頂点でなければ、1つの頂点が原点になるように平行移動する。

3辺の長さ $a,b,c$ と外接円の半径 $R$ が分かるとき、 $S=\dfrac{abc}{4R}$ 。

図形 $D$ は、弦 $\mathrm{AB}$ で2つに分けられます。
弧 $\mathrm{AB}$ と弦 $\mathrm{AB}$ で囲まれた弓形と、三角形 $\mathrm{ABP}$ です。
弓形は $\mathrm{P}$ によらないので、 $\mathrm{P}$ を動かして変わるのは三角形 $\mathrm{ABP}$ の面積だけです。
底辺 $\mathrm{AB}$ は一定なので、 $\mathrm{P}$ と直線 $\mathrm{AB}$ の距離（高さ）が最大になる位置を探せば十分です。

円周上で直線 $\mathrm{AB}$ から最も遠い点は、中心 $\mathrm{O}$ を通り $\mathrm{AB}$ に垂直な直線と円の交点のうち、 $\mathrm{AB}$ から遠い方です。
ただし、 $\mathrm{P}$ が動けるのは $\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上だけです。
その点が本当に弧 $\mathrm{BC}$ 上にあるかを確かめる必要があり、ここで「 $\angle\mathrm{A}$ が鈍角」という条件を使います。

$\angle\mathrm{C}=\alpha$ は弧 $\mathrm{AB}$ に対する円周角なので、中心角 $\angle\mathrm{AOB}=2\alpha$ に直せます。
半径が $1$ なので、弓形の面積は「扇形 $\mathrm{OAB}$ − 三角形 $\mathrm{OAB}$ 」として、上の公式1で計算できます。
扇形の面積を $\dfrac12r^2\theta$ で計算するので、角 $\alpha$ は弧度法で扱います。

半径1の円に内接する三角形ABCと、弧BC上の点P。Cを含まない弧ABと弦AP、BPで囲まれた部分を塗っている。PはOを通りABに垂直な直線と円の交点で、Pと直線ABの距離は1+cosα。中心角AOBは2α — $D$ が最大になるときの図形（ $\alpha=40^\circ$ の例）

（2）解の2乗を解にもつ方程式は、 $x$ と $-x$ を代入した式の積から作る

多項式の因数の見つけ方（因数定理）
多項式 $P(x)$ について、 $P(a)=0$ $\iff$ $P(x)$ は $x-a$ を因数にもつ。

各解 $\alpha_k$ を具体的に求める必要はありません。
まず $f(x)$ を解を使った積の形で書き、そこから解を使わない式に直します。
因数定理から、 $x^{11}+17x+5=(x-\alpha_1)\cdots(x-\alpha_{11})$ 、 $f(x)=(x-{\alpha_1}^2)\cdots(x-{\alpha_{11}}^2)$ と書けます。

ここで $f(x)$ の $x$ に $x^2$ を代入すると、各因数が $x^2-{\alpha_k}^2=(x-\alpha_k)(x+\alpha_k)$ と分解できます。
$(x-\alpha_k)$ をすべてかけたものはもとの方程式の左辺そのものです。
$(x+\alpha_k)$ をすべてかけたものも、左辺の $x$ に $-x$ を代入した式から作れます。
「 $x$ と $-x$ を代入した式をかける」のは、解を2乗した方程式を作るときの定番の方法です。

なお、 $f(x)$ が1つに決まるには、 ${\alpha_1}^2,\ldots,{\alpha_{11}}^2$ がすべて異なる必要があります。
答案ではこの点も確認します。

（3）折れ線を展開図の上でまっすぐにする

座標平面上の2点間の距離の求め方
2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ の間の距離は、 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 。

$\mathrm{P}_{4k}$ と $\mathrm{P}_{4k+1}$ は辺 $\mathrm{AB}$ と辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、線分 $\mathrm{P}_{4k}\mathrm{P}_{4k+1}$ は面 $\mathrm{ABC}$ 上にあります。
同じように、続く線分は面 $\mathrm{BCD}$ 、 $\mathrm{CDA}$ 、 $\mathrm{DAB}$ 上にあります。
つまり、この折れ線はすべて正四面体の表面上にあり、4つの面を順にたどります。

表面上の経路の長さは、展開図で考えるのが定石です。
たどる順に面を辺で開いていくと、正三角形が帯状に並びます。
折れ線の長さの和は展開図上の折れ線の長さに等しく、両端を結ぶ線分の長さ以上です。
最後に、その線分が実際に各辺を順に通ること、つまり最小値が実現できることを確かめます。

（4）内積の総和は、和のベクトルの長さの2乗に現れる

ベクトルの長さの扱い方
図形として長さを考える。計算するときは2乗して内積を使う。
$|\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^2$ 。

$|\vec a+\vec b|^2$ を展開すると、 $2\vec a\cdot\vec b$ が現れます。
同じように $\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}\right|^2$ を展開すると、異なる2つのベクトルの内積がすべて2回ずつ現れます。
そこで、求める総和を和のベクトルの長さから計算します。

和のベクトルは、正 $n$ 角形の中心を経由すると簡単になります。
$\mathrm{HA}_i=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$ はすべて等しいので、 $\mathrm{H}$ は正 $n$ 角形の中心です。
中心から各頂点へのベクトルの和は $\vec0$ なので、和のベクトルは $n\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ になります。

解答

（1）

円の中心を $\mathrm{O}$ とし、角は弧度法で表す。
$\angle\mathrm{A}$ が鈍角なので、 $\angle\mathrm{B}$ と $\alpha=\angle\mathrm{C}$ は鋭角で、 $\angle\mathrm{A}>\angle\mathrm{B}$ である。

$\mathrm{P}$ は $\mathrm{C}$ を含む方の弧 $\mathrm{AB}$ 上にあるから、 $\mathrm{P}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ は、 $\mathrm{C}$ を含まない弧 $\mathrm{AB}$ である。
円周角の定理より、この弧に対する中心角は $\angle\mathrm{AOB}=2\alpha$ で、 $2\alpha<\pi$ である。
弓形と $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{AB}$ に関して反対側にあるので、 $D$ は、この弧と弦 $\mathrm{AB}$ で囲まれた弓形と、三角形 $\mathrm{ABP}$ を合わせた面積である。

弓形の面積は、 $\mathrm{P}$ によらず

\frac12\cdot1^2\cdot2\alpha-\frac12\cdot1^2\cdot\sin2\alpha=\alpha-\sin\alpha\cos\alpha.

次に、三角形 $\mathrm{ABP}$ の面積を考える。
$\mathrm{AB}$ の中点を $\mathrm{M}$ とすると、 $\mathrm{OM}\perp\mathrm{AB}$ 、 $\angle\mathrm{AOM}=\alpha$ だから、

\mathrm{AB}=2\sin\alpha,\qquad \mathrm{OM}=\cos\alpha.

$2\alpha<\pi$ より、 $\mathrm{O}$ は直線 $\mathrm{AB}$ に関して弓形と反対側、つまり $\mathrm{P}$ と同じ側にある。
$\mathrm{P}$ と直線 $\mathrm{AB}$ の距離を $h$ とする。
$h$ は、 $\mathrm{O}$ と直線 $\mathrm{AB}$ の距離 $\cos\alpha$ と、 $\mathrm{P}$ と「 $\mathrm{O}$ を通り $\mathrm{AB}$ に平行な直線」との距離の和以下である。
後者は $\mathrm{OP}=1$ 以下なので、

h\leqq1+\cos\alpha.

等号が成り立つのは、直線 $\mathrm{MO}$ と円の交点のうち $\mathrm{M}$ から遠い方の点 $\mathrm{N}$ に $\mathrm{P}$ が一致するときに限る。

$\mathrm{N}$ が $\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上にあることを確かめる。
$\mathrm{C}$ を含む弧 $\mathrm{AB}$ を $\mathrm{A}$ から $\mathrm{B}$ までたどると、中心角で測って、 $\mathrm{C}$ までが $2\angle\mathrm{B}$ 、 $\mathrm{B}$ までが $2\pi-2\alpha$ である。
$\mathrm{N}$ はこの弧の中点なので、 $\mathrm{N}$ までは $\pi-\alpha=\angle\mathrm{A}+\angle\mathrm{B}$ である。
$\angle\mathrm{A}>\angle\mathrm{B}$ だから $2\angle\mathrm{B}<\angle\mathrm{A}+\angle\mathrm{B}<2\pi-2\alpha$ となり、 $\mathrm{N}$ は $\mathrm{C}$ と $\mathrm{B}$ の間、すなわち $\mathrm{A}$ を含まない弧 $\mathrm{BC}$ 上にある。

よって、三角形 $\mathrm{ABP}$ の面積は $\mathrm{P}=\mathrm{N}$ のとき最大で、最大値は

\frac12\cdot2\sin\alpha\cdot(1+\cos\alpha)=\sin\alpha+\sin\alpha\cos\alpha.

したがって、 $D$ の最大値は

\begin{aligned} &(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha)+(\sin\alpha+\sin\alpha\cos\alpha)\\ &\quad=\alpha+\sin\alpha. \end{aligned}

ア： $\alpha+\sin\alpha$

補足鈍角の条件を使った場所

条件 $\angle\mathrm{A}>\angle\mathrm{B}$ がないと、 $\mathrm{N}$ が弧 $\mathrm{CA}$ 側に来て、 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{N}$ に届かないことがあります。
その場合、最大値は弧 $\mathrm{BC}$ の端で考える必要があり、答えは変わります。
$\angle\mathrm{A}$ が鈍角なら必ず $\angle\mathrm{A}>\angle\mathrm{B}$ なので、この心配はありません。

補足別の分け方で確かめる

$\mathrm{P}=\mathrm{N}$ のとき、 $\mathrm{O}$ は図形 $D$ の内部にあります。
$D$ を扇形 $\mathrm{OAB}$ と三角形 $\mathrm{OBN}$ 、 $\mathrm{ONA}$ に分けると、 $\angle\mathrm{BON}=\angle\mathrm{NOA}=\pi-\alpha$ なので、

\alpha+\frac12\sin(\pi-\alpha)+\frac12\sin(\pi-\alpha)=\alpha+\sin\alpha

となり、一致します。

（2）

$g(x)=x^{11}+17x+5$ とおく。
$\alpha_1,\ldots,\alpha_{11}$ は $g(x)=0$ の11個の解だから、因数定理より

g(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_{11}).

${\alpha_k}^2$ がすべて異なること

$g(x)=0$ が重解 $\beta$ をもつとすると、 $g(\beta)=0$ かつ $g'(\beta)=0$ である。
$g'(\beta)=11\beta^{10}+17=0$ より $\beta^{10}=-\dfrac{17}{11}$ で、これを $g(\beta)=\beta\cdot\beta^{10}+17\beta+5=0$ に代入すると $\dfrac{170}{11}\beta+5=0$ 、つまり $\beta=-\dfrac{11}{34}$ となる。
これは実数なので $\beta^{10}>0$ となり、 $\beta^{10}=-\dfrac{17}{11}$ に矛盾する。
よって $\alpha_1,\ldots,\alpha_{11}$ はすべて異なる。

また、 $g(x)+g(-x)=10$ だから、 $g(\beta)=g(-\beta)=0$ となる $\beta$ はない。
よって、 $\alpha_j=-\alpha_k$ となることもない。
${\alpha_j}^2={\alpha_k}^2$ は $\alpha_j=\pm\alpha_k$ と同じなので、 ${\alpha_1}^2,\ldots,{\alpha_{11}}^2$ はすべて異なる。

したがって、 $f(x)=0$ は異なる11個の解 ${\alpha_k}^2$ をもち、 $x^{11}$ の係数が $1$ の11次式だから、因数定理より

f(x)=(x-{\alpha_1}^2)(x-{\alpha_2}^2)\cdots(x-{\alpha_{11}}^2).

$f(x)$ を求める

$x$ に $x^2$ を代入すると、

f(x^2)=\prod_{k=1}^{11}(x^2-{\alpha_k}^2)=\prod_{k=1}^{11}(x-\alpha_k)\cdot\prod_{k=1}^{11}(x+\alpha_k).

ここで、

\prod_{k=1}^{11}(x+\alpha_k)=(-1)^{11}\prod_{k=1}^{11}(-x-\alpha_k)=-g(-x)

だから、

\begin{aligned} f(x^2)&=-g(x)g(-x)\\ &=-(x^{11}+17x+5)(-x^{11}-17x+5)\\ &=(x^{11}+17x)^2-25\\ &=x^{22}+34x^{12}+289x^2-25. \end{aligned}

両辺の係数を比べて、

イ： $x^{11}+34x^6+289x-25$

補足定数項と係数で確かめる

解と係数の関係から、 $g(x)=0$ の解の積は $\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_{11}=-5$ です。
よって $f(0)=-{\alpha_1}^2\cdots{\alpha_{11}}^2=-(-5)^2=-25$ で、定数項と一致します。

また、 $g(x)$ には $x^{10}$ 、 $x^9$ の項がないので、解の和も、2つずつの積の和も $0$ です。
よって ${\alpha_1}^2+\cdots+{\alpha_{11}}^2=0^2-2\cdot0=0$ となり、 $f(x)$ に $x^{10}$ の項がないことと一致します。

（3）

各 $k$ について、 $\mathrm{P}_{4k}$ と $\mathrm{P}_{4k+1}$ は面 $\mathrm{ABC}$ 上、 $\mathrm{P}_{4k+1}$ と $\mathrm{P}_{4k+2}$ は面 $\mathrm{BCD}$ 上、 $\mathrm{P}_{4k+2}$ と $\mathrm{P}_{4k+3}$ は面 $\mathrm{CDA}$ 上、 $\mathrm{P}_{4k+3}$ と $\mathrm{P}_{4k+4}$ は面 $\mathrm{DAB}$ 上にある（ $\mathrm{P}_{4n}=\mathrm{B}$ も辺 $\mathrm{AB}$ 上にある）。
三角形の面は凸なので、各線分 $\mathrm{P}_i\mathrm{P}_{i+1}$ はその面に含まれる。

面 $\mathrm{ABC}$ 、 $\mathrm{BCD}$ 、 $\mathrm{CDA}$ 、 $\mathrm{DAB}$ 、 $\mathrm{ABC}$ 、 $\cdots$ を、共有する辺 $\mathrm{BC}$ 、 $\mathrm{CD}$ 、 $\mathrm{DA}$ 、 $\mathrm{AB}$ 、 $\cdots$ で順につないで平面上に広げる。
座標平面上で $\mathrm{A}(0,0)$ 、 $\mathrm{B}(1,0)$ 、 $\mathrm{C}\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ とすると、続く面の頂点は $\mathrm{D}\left(\dfrac32,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ 、 $\mathrm{A}(1,\sqrt3)$ 、 $\mathrm{B}(2,\sqrt3)$ に移る。
4面で辺 $\mathrm{AB}$ は $(1,\sqrt3)$ だけ平行移動した位置に移るので、これを $n$ 回くり返すと、 $4n$ 枚の正三角形が、4点

(0,0),\quad(1,0),\quad(n+1,\sqrt3n),\quad(n,\sqrt3n)

を頂点とする平行四辺形をすき間なく埋める。

正四面体の面ABC、BCD、CDA、DABを順に辺で開いた展開図。n=2のとき正三角形8枚が平行四辺形に並び、始点AのP0から終点BのP8へ引いた直線が各辺と順に交わる — $n=2$ のときの展開図と最短の折れ線

$\mathrm{P}_i$ が移る点を $\mathrm{Q}_i$ とすると、 $\mathrm{Q}_0=(0,0)$ 、 $\mathrm{Q}_{4n}=(n+1,\sqrt3n)$ で、展開しても各面の中の長さは変わらないから $\mathrm{Q}_i\mathrm{Q}_{i+1}=\mathrm{P}_i\mathrm{P}_{i+1}$ である。
よって、

\begin{aligned} \sum_{i=0}^{4n-1}\mathrm{P}_i\mathrm{P}_{i+1}&=\sum_{i=0}^{4n-1}\mathrm{Q}_i\mathrm{Q}_{i+1}\geqq\mathrm{Q}_0\mathrm{Q}_{4n}\\ &=\sqrt{(n+1)^2+3n^2}=\sqrt{4n^2+2n+1}. \end{aligned}

等号が成り立つ点の選び方があることを示す。
線分 $\mathrm{Q}_0\mathrm{Q}_{4n}$ は平行四辺形の対角線なので、平行四辺形に含まれる。
展開図の中の辺 $\mathrm{AB}$ 、 $\mathrm{BC}$ 、 $\mathrm{CD}$ 、 $\mathrm{DA}$ が移った線分は、どれも平行四辺形の左右の辺を結び、平行四辺形を下側と上側に分ける。
対角線は下端の頂点 $(0,0)$ から上端の頂点 $(n+1,\sqrt3n)$ へ向かうので、これらの線分と下から順に交わる。
その交点を $\mathrm{Q}_1,\ldots,\mathrm{Q}_{4n-1}$ とし、対応する辺上の点を $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_{4n-1}$ とすると、条件（i）（ii）を満たし、和は $\mathrm{Q}_0\mathrm{Q}_{4n}$ に等しい。

ウ： $\sqrt{4n^2+2n+1}$

補足n=1 の場合を正四面体の上で確かめる

$n=1$ のとき、展開図の直線と各辺の交点から、 $\mathrm{BP}_1=\dfrac23$ 、 $\mathrm{P}_2$ は辺 $\mathrm{CD}$ の中点、 $\mathrm{DP}_3=\dfrac13$ となります。
面 $\mathrm{ABC}$ で余弦定理を使うと、 $\mathrm{AP}_1^2=1+\dfrac49-2\cdot\dfrac23\cdot\dfrac12=\dfrac79$ より $\mathrm{AP}_1=\dfrac{\sqrt7}3$ です。
同様に $\mathrm{P}_1\mathrm{P}_2=\mathrm{P}_2\mathrm{P}_3=\dfrac{\sqrt7}6$ 、 $\mathrm{P}_3\mathrm{B}=\dfrac{\sqrt7}3$ となり、和は $\sqrt7$ です。
これは $\sqrt{4\cdot1^2+2\cdot1+1}=\sqrt7$ と一致します。

（4）

$\mathrm{OH}$ は平面に垂直だから、各 $i$ について三角形 $\mathrm{OHA}_i$ は直角三角形で、

\mathrm{HA}_i=\sqrt{\mathrm{OA}_i^2-\mathrm{OH}^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt5.

よって、 $\mathrm{H}$ はすべての頂点から等距離にあり、正 $n$ 角形の中心である。

$\vec v=\overrightarrow{\mathrm{HA}_1}+\overrightarrow{\mathrm{HA}_2}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{HA}_n}$ とおく。
$\mathrm{H}$ を中心に平面を $\dfrac{2\pi}{n}$ だけ回転すると、各頂点は隣の頂点に移るので、 $\vec v$ は自分自身に移る。
$n\geqq3$ より $0<\dfrac{2\pi}n<2\pi$ だから、この回転で変わらないベクトルは $\vec0$ だけである。
よって $\vec v=\vec0$ で、

\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}=\sum_{i=1}^{n}\left(\overrightarrow{\mathrm{OH}}+\overrightarrow{\mathrm{HA}_i}\right)=n\overrightarrow{\mathrm{OH}}.

求める総和を $T$ とする。
和のベクトルの長さの2乗を展開すると、

\left|\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\right|^2=\sum_{i=1}^{n}\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\right|^2+2T.

左辺は $|n\overrightarrow{\mathrm{OH}}|^2=4n^2$ 、右辺の第1項は $9n$ だから、

4n^2=9n+2T\qquad\text{より}\qquad T=\frac{4n^2-9n}{2}.

エ： $\dfrac{4n^2-9n}{2}$

補足正方形の場合で確かめる

$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\perp\overrightarrow{\mathrm{HA}_i}$ なので、 $\overrightarrow{\mathrm{OA}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}_j}=4+\overrightarrow{\mathrm{HA}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}_j}$ です。
$n=4$ なら、隣り合う4組では $\overrightarrow{\mathrm{HA}_i}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HA}_j}=0$ 、向かい合う2組では $-5$ です。
総和は $4\cdot4+2\cdot(4-5)=14$ で、 $\dfrac{4\cdot16-36}{2}=14$ と一致します。

問題データ

主分野: ベクトル
関連分野: 三角関数方程式・不等式
難易度の目安: B（標準）
目標時間: 25分

講評

平面図形、多項式、空間図形、ベクトルから1問ずつ出題された、答えだけを記入する形式の小問集合です。
途中の式を書く欄がないので、最後まで正確に計算することが大切です。
解き終えたら、特別な場合を代入して答えを確かめる習慣をつけましょう。

（4）は、内積の総和を $\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}_1}+\cdots+\overrightarrow{\mathrm{OA}_n}\right|^2$ の展開に結びつければ、短い計算で終わります。
このセットの中では最も取りやすいので、確実に得点したいところです。

（2）は、 $g(x)g(-x)$ を作る方法を知っているかどうかで、かかる時間が大きく変わります。
知らなくても、「 $x^2-{\alpha_k}^2=(x-\alpha_k)(x+\alpha_k)$ 」と因数分解する発想から導けます。
解を使って新しい方程式を作る手順は、解と係数の関係とあわせて身につけておきましょう。

（1）は、図形 $D$ を「弓形＋三角形」に分ければ、高さを最大にする問題に帰着します。
答えだけなら直感で $\alpha+\sin\alpha$ にたどり着けますが、最大にする点が $\mathrm{P}$ の動ける範囲にあるかの確認を忘れないでください。
問題文の「 $\angle\mathrm{A}$ が鈍角」は、まさにこの確認のための条件です。
条件が何のために置かれているかを考える姿勢は、記述問題でも役立ちます。

差がつきやすいのは（3）です。
折れ線の各線分が正四面体の面の上にあると気づければ、展開図で直線にするという定石が使えます。
展開図をかくと、 $4$ 枚の正三角形で平行四辺形ができ、それが $n$ 回くり返されることが見えてきます。
本番では、 $n=1$ の場合だけでも展開図を正確にかき、答えが $\sqrt7$ になることを確かめるとよいでしょう。

同じ大学の問題

5早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

関数 $f (x) = x lo g x$ について，以下の問に答えよ。ただし， $lo g$ は自然対数， $e$ は自然対数の底を表す。必要ならば， $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ を用いてよい。

（1） $y = f (x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して， $g (x) = a x - 1$ とする。曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y = f (x)$ ，直線 $y = g (x)$ および直線 $x = \frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第5問

4早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

$a (1) = 2$ とし， $a (2), a (3), a (4), \dots$ を次の関係で定める。

a (2 n) a (2 n + 1) = 3 a (n) + 1, = 3 a (n) + 2 (n = 1, 2, \dots)

以下の問に答えよ。

（1） $a (7), a (9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して， $a (2^{n} + 1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ を用いて，

a (2^{n} + 1) = k = 0 \sum n b_{k} \cdot 3^{k}

と表せる。 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して， $k = 1 \sum 2^{n} - 1 a (k)$ を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第4問

3早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

座標空間内に点 $A (0, 0, 1)$ ，点 $B (1, 1, 0)$ ，および実数 $a$ を用いて表される点 $P (a, 0, 0)$ をとる。さらに，2点 $(0, 2, 0)$ ， $(0, 0, 2)$ を通る直線を $ℓ$ として，3点 $A, B, P$ が定める平面と直線 $ℓ$ との交点を $Q$ とする。

（1）点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $A, B, P, Q$ が四角形 $APBQ$ を成し，線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3） $a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $APBQ$ の面積を $a$ を用いて表せ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第3問

2早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

$k$ を自然数とする。方程式

m - n + m + n - \frac{1}{k} mn = 0

を満たす自然数の組 $(m, n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m, n)$ が存在するならば， $2 k^{2} ≦ n < 4 k^{2}$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $2 k$ より小さいことを示せ。

（3） $k = 3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第2問

1早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

次の関数 $f (x)$ について，以下の問に答えよ。

f (x) = 8^{x} - \frac{15}{2} \cdot 4^{x} + \frac{63}{4} \cdot 2^{x} - \frac{57}{8}

（1） $f (x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M, m$ に対して， $a ≦ x ≦ b$ における $f (x)$ の最大値が $M$ ，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a, b)$ のうち， $b - a$ が最小となる組を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第1問

同じ分野の問題

2慶應義塾大学 2026 理工学部

空間内に点 $P$ と平面 $α$ をとる。点 $P$ と平面 $α$ 上の3点 $O$ ， $A$ ， $B$ に対して，

OP = 2, OA = 2, OB = 3, OP \cdot OB = OA \cdot OB = - 2

が成り立つとする。線分 $AB$ 上の点 $Q$ を， $OQ$ と $OB$ が垂直であるようにとる。

（1） $cos ∠ POB = キ$ である。

（2） $t = \frac{AQ}{AB}$ とおく。このとき， $t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3） $OQ = ク$ である。

（4）点 $P$ を通り平面 $α$ に垂直な直線と $α$ の交点を $H$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $OH = k OQ + l OB$ と表すと， $l = ケ$ となる。

（5）点 $P$ が平面 $α$ 上にあるのは， $OP \cdot OA$ の値が $コ$ または $サ$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第2問

【解答・解説】2026年麻布大学獣医学科第Ⅱ期数学第3問

5慶應義塾大学 2026 理工学部

（1） $i$ を虚数単位とし，実数 $θ$ に対して $f (θ) = cos θ + i sin θ$ とおく。実数 $a$ に対して， $f (θ_{1}) = {f (a)}^{3}$ を満たす $θ_{1}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{1} = ナ$ であり，

\frac{f ( θ _{2} ) + f ( - θ _{2} )}{2} = cos^{2} a - sin^{2} a

を満たす $θ_{2}$ の1つを $a$ を用いて表すと $θ_{2} = ニ$ である。

（2） $θ$ の関数 $cos^{4} θ$ を適切な有理数 $b$ ， $c$ ， $d$ を用いて $b + c cos 2 θ + d cos 4 θ$ の形で表すと， $cos^{4} θ = ヌ$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0 ≦ y ≦ x$ の表す領域において方程式 $(x^{2} + y^{2})^{3} = (x^{2} - y^{2})^{2}$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極， $x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r, θ)$ を考えると， $C$ の極方程式は $ネ$ となる。ただし， $θ$ の動く範囲は $ノ$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $ハ$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第5問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期E日程

（1） $a > 0$ とする。 $2 x^{2} - (4 a + 3) x + 6 a$ を因数分解すると $(ア x - イ) (x - ウ a)$ となるから， $x$ の不等式 $2 x^{2} - (4 a + 3) x + 6 a < 0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $エ < a ≦ \frac{オ}{カ}$ である。

（2） $a a a b b c c$ の7文字の並べ方は全部で $キクケ$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $コサ$ 通りある。

（3）不等式 $6 x^{2} - 13 x + 6 ≦ 0$ をみたす $x$ の範囲は $\frac{シ}{ス} ≦ x ≦ \frac{セ}{ソ}$ である。 $y = 5 x^{2} - 8 x + 7$ とすると， $x$ がこの範囲を動くとき， $y$ の最大値は $\frac{タチ}{ツ}$ である。

（4） $cos 3 θ$ を $cos θ$ を用いて表すと $cos 3 θ = テ cos^{3} θ - ト cos θ$ となり， $0 ≦ θ < 2 π$ において $cos 3 θ + cos θ = 0$ をみたす $θ$ で最大のものは $θ = \frac{ナ}{ニ} π$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期E日程数学第1問

2麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期E日程

四角形 $A B C D$ は円に内接し，辺 $A B$ と辺 $A D$ の長さはそれぞれ $8, 5$ であり，対角線 $B D$ の長さは $7$ である。また，辺 $B C$ と辺 $C D$ は長さが等しい。

円に内接する四角形ABCD。Aは上側、BとDは左右、Cは下側にあり、対角線BDと、BCとCDが等しいことを示す印を付している。

（1） $cos ∠ B A D = \frac{ヌ}{ネ}$ より辺 $B C$ の長さは $\frac{ノ}{ハ}$ であり，四角形 $A B C D$ の面積は $\frac{ヒフヘ}{ホマ} ミ$ である。

（2） $cos ∠ A B D = \frac{ムメ}{モヤ}$ である。対角線 $A C$ と対角線 $B D$ の交点を $E$ とすると，線分の長さの比について， $B E : E D = ユ : ヨ$ であるから， $A E$ の長さは $\frac{ラリ}{ルレ} ロ$ であり，対角線 $A C$ の長さは $\frac{ワン}{あ} い$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期E日程数学第2問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期B日程

以下の問いに答えよ。

（1） $_{2025} C_{1} +_{2025} C_{2} + \dots +_{2025} C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $ア$ である。

（2） $0 ≦ θ ≦ π$ とする。 $tan θ = - 3$ のとき $2 cos θ + sin θ = \frac{イ}{ウエ}$ である。

（3） $i$ を虚数単位とする。 $x$ の2次方程式 $x^{2} + (i - a) x - 5 + (a - 3) i = 0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は， $a = \frac{オ}{カ}, キ$ であり，実数解はそれぞれ $x = \frac{ク}{ケ}, コサ$ である。

（4） $a = (3, 7), b = (1, - 3)$ のとき $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値は $\frac{シ}{ス}$ であり，最小値は $\frac{セソタ}{チ}$ である。

重要知識と着眼点

（1）動く部分だけを取り出し、高さが最大になる位置を探す

三角形の面積の求め方

（2）解の2乗を解にもつ方程式は、xxx と −x-x−x を代入した式の積から作る

多項式の因数の見つけ方（因数定理）

（3）折れ線を展開図の上でまっすぐにする

座標平面上の2点間の距離の求め方

（4）内積の総和は、和のベクトルの長さの2乗に現れる

ベクトルの長さの扱い方

解答

（1）

（2）

（3）

（4）

問題データ

講評

同じ試験の問題

【解答・解説】2026年 早稲田大学 商学部（数学型） 数学 第2問

【解答・解説】2026年 早稲田大学 商学部（数学型） 数学 第3問

同じ大学の問題

【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第5問

【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第4問

【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第3問

【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第2問

【解答・解説】2026年 早稲田大学 基幹・創造・先進理工学部 数学 第1問

同じ分野の問題

【解答・解説】2026年 慶應義塾大学 理工学部 数学 第2問

【解答・解説】2026年 麻布大学 獣医学科 第Ⅱ期 数学 第3問

【解答・解説】2026年 慶應義塾大学 理工学部 数学 第5問

【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期E日程 数学 第1問

【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期E日程 数学 第2問

【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期B日程 数学 第1問