【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第2問

公開 2026.10.06

整数 $c$ を初項とする数列 $\{a_n\}$ が以下を満たすとする。

\begin{gathered} n^2a_{n+1}=(n+1)^2a_n-26n(n+1)\\ (n=1,2,3,\cdots\cdots) \end{gathered}

次の設問に答えよ。

（1）数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

（2）数列 $\{a_n\}$ の最大の項が $56$ であるとき， $c$ の値を求めよ。

重要知識と着眼点

（1）両辺を $n^2(n+1)^2$ で割り、同じ形のかたまりを作る

置き換えを使う漸化式の解き方
別の数列に置き換え、等差数列や等比数列に帰着できないか考える。
例えば $a_{n+1}=\dfrac{Aa_n}{Ba_n+C}$ （ $A\ne0$ 、各項と分母は $0$ でない）なら、 $b_n=\dfrac1{a_n}$ とおく。
$b_{n+1}=\dfrac CA b_n+\dfrac BA$ となる。

差の形に分解できる数列の和の求め方
$a_k=b_k-b_{k+1}$ と表せれば、途中の項が消える。
$a_1+\cdots+a_n$
$=(b_1-b_2)+\cdots+(b_n-b_{n+1})$
$=b_1-b_{n+1}$ 。
例： $\dfrac1{k(k+1)}=\dfrac1k-\dfrac1{k+1}$ 。

漸化式の $a_{n+1}$ には $n^2$ 、 $a_n$ には $(n+1)^2$ がかかっています。
番号と係数が「ずれて」いるので、このままでは扱いにくい形です。
両辺を $n^2(n+1)^2$ で割ると、 $\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)^2}$ と $\dfrac{a_n}{n^2}$ という、番号と係数がそろった同じ形のかたまりが現れます。
このかたまりを $b_n=\dfrac{a_n}{n^2}$ とおけば、 $b_{n+1}-b_n$ が $n$ だけの式で表せます。

残る項は $\dfrac{26}{n(n+1)}$ です。
これは $26\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)$ と差の形に分けられるので、和をとると途中の項が消えます。

（2） $a_n$ を $n$ の2次式とみて、軸の近くの整数を調べる

2次関数の軸・頂点の求め方（平方完成）
$y=ax^2+bx+c$ を平方完成して $y=a(x-p)^2+q$ の形にする。
軸は $x=p$ 、頂点は $(p,q)$ 。

整数解を求める問題の定石

因数分解して、約数の組を調べる。

不等式で範囲を絞る。

整数で割った余りを考える。

（1）の結果は $a_n=(c-26)n^2+26n$ で、 $n$ の2次式です。
最大の項があるかどうかは、 $n^2$ の係数 $c-26$ の符号で決まります。
$c-26\geqq0$ なら $a_n$ はどこまでも大きくなるので、最大の項はありません。

$c-26<0$ なら、上に凸な放物線の上に項が並びます。
平方完成すると、すべての項は頂点の $y$ 座標以下です。
最大の項が $56$ なら頂点の $y$ 座標は $56$ 以上なので、この不等式で $c$ の候補が少数に絞れます。
残った候補ごとに、軸に近い整数 $n$ での値を調べます。

解答

（1）

$n\geqq1$ より $n^2(n+1)^2\ne0$ だから、漸化式の両辺を $n^2(n+1)^2$ で割って、

\frac{a_{n+1}}{(n+1)^2}=\frac{a_n}{n^2}-\frac{26}{n(n+1)}.

$b_n=\dfrac{a_n}{n^2}$ とおくと、 $b_1=a_1=c$ であり、

b_{n+1}-b_n=-\frac{26}{n(n+1)}=-26\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right).

よって、 $n\geqq2$ のとき、

\begin{aligned} b_n&=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)\\ &=c-26\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\ &=c-26\left(1-\frac1n\right). \end{aligned}

この式は $n=1$ のときも $b_1=c$ となり成り立つ。
したがって、

a_n=n^2b_n=(c-26)n^2+26n.

補足漸化式に戻して確かめる

$a_2$ は漸化式で $n=1$ として $a_2=4c-52$ です。
一般項に $n=2$ を代入しても $4(c-26)+52=4c-52$ で、一致します。
一般の $n$ でも、両辺に一般項を代入すると、どちらも $(c-26)n^2(n+1)^2+26n^2(n+1)$ になります。

（2）

（1）より、 $a_n=(c-26)n^2+26n$ である。

$c\geqq26$ のとき

a_{n+1}-a_n=(c-26)(2n+1)+26>0

だから、 $\{a_n\}$ は増加し続け、最大の項はない。
よって $c\leqq25$ である。

$c\leqq25$ のとき

$m=26-c$ とおくと、 $c$ は整数なので $m$ は正の整数である。

a_n=-mn^2+26n=-m\left(n-\frac{13}{m}\right)^2+\frac{169}{m}

だから、すべての $n$ で $a_n\leqq\dfrac{169}{m}$ である。
最大の項が $56$ なら $56\leqq\dfrac{169}{m}$ 、つまり $m\leqq\dfrac{169}{56}$ で、 $\dfrac{169}{56}=3.01\cdots$ より $m=1,2,3$ に限られる。

$m=1$ のとき、 $a_{13}=-169+338=169>56$ だから、最大の項は $56$ ではない。
$m=2$ のとき、 $a_6=-72+156=84>56$ だから、最大の項は $56$ ではない。
$m=3$ のとき、 $a_{n+1}-a_n=-3(2n+1)+26=23-6n$ である。

$m=3$ の場合、 $a_{n+1}-a_n$ は $n\leqq3$ で正、 $n\geqq4$ で負だから、

a_1<a_2<a_3<a_4,\qquad a_4>a_5>a_6>\cdots.

よって最大の項は $a_4=-48+104=56$ で、条件を満たす。

c=23のときの項a1からa8を点で示した図。値は23、40、51、56、55、48、35、16で、放物線y=−3x²+26xの上に並ぶ。軸はn=13/3で、最大の項はa4=56 — $c=23$ のときの項 $a_n=-3n^2+26n$

以上より、 $m=3$ 、すなわち

c=23.

補足項を並べて確かめる

$c=23$ のとき、漸化式から直接計算すると、

\begin{aligned} a_1&=23,\\ a_2&=4\cdot23-52=40,\\ a_3&=\frac{9\cdot40-156}{4}=51,\\ a_4&=\frac{16\cdot51-312}{9}=56 \end{aligned}

となり、一般項 $a_n=-3n^2+26n$ の値と一致します。
$a_5=55$ 以降は減っていきます。

問題データ

主分野: 数列
関連分野: なし
難易度の目安: A（易）
目標時間: 20分

講評

置き換えで階差の形に直せる漸化式と、2次式で表された数列の最大値を組み合わせた問題です。
方針は典型的なので、確実に完答したい1題です。

（1）の鍵は、両辺を $n^2(n+1)^2$ で割ることです。
係数 $n^2$ と $(n+1)^2$ が番号と「ずれて」かかっている漸化式では、割り算で番号と係数をそろえる発想が有効です。
$\dfrac{26}{n(n+1)}$ を差の形に分けて和をとる処理も、数列の基本としてすらすらできるようにしておきましょう。
求めた一般項は、 $n=1,2$ を代入して漸化式と比べると、すぐに確かめられます。

（2）では、次の2点で差がつきます。

$c\geqq26$ のとき最大の項がないことを、答案に書いておくこと。
頂点の $y$ 座標 $\dfrac{169}{m}$ が $56$ 以上であることから、候補を $m=1,2,3$ に絞ること。

$m$ の範囲を絞らずに、思いついた値だけを試して $c=23$ を答えると、他に解がないことが示せません。
「整数の条件は、不等式で範囲を絞ってから調べる」という流れを身につけておきましょう。

また、 $m=3$ のとき軸は $n=\dfrac{13}{3}$ で、軸をはさむ整数は $4$ と $5$ です。
答案では、階差 $a_{n+1}-a_n$ の符号を調べるか、 $a_4$ と $a_5$ を比べて、どちらが最大の項かをはっきり示しましょう。

同じ試験の問題

1早稲田大学 2026 商学部（数学型）

［ア］～［エ］にあてはまる数または式を記述解答用紙の所定欄に記入せよ。

（1）半径 $1$ の円に， $∠ A$ が鈍角である鈍角三角形 $ABC$ が内接している。 $A$ を含まない弧 $BC$ 上に動点 $P$ をとる。点 $P$ を含まない弧 $AB$ と $2$ つの弦 $AP$ ， $BP$ で囲まれる部分の面積を $D$ とする。 $∠ C = α$ のとき， $D$ の最大値を $α$ を用いて表すと［ア］である。

（2）方程式 $x^{11} + 17 x + 5 = 0$ の解を $α_{1}, α_{2}, α_{3}, \dots\dots, α_{11}$ とする。 $11$ 次の多項式 $f (x)$ が次の条件（i），（ii）を満たすとき， $f (x) =$ ［イ］である。

（i） $x^{11}$ の係数は $1$ である。
（ii）方程式 $f (x) = 0$ は， $α_{1}^{2}, α_{2}^{2}, α_{3}^{2}, \dots\dots, α_{11}^{2}$ を解にもつ。

（3） $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $ABCD$ を考える。正の整数 $n$ に対し， $4 n + 1$ 個の点 $P_{0}, P_{1}, P_{2}, \dots\dots, P_{4 n}$ が，次の条件（i），（ii）を満たすとする。

（i）整数 $k$ （ $k = 0, 1, 2, \dots\dots, n - 1$ ）に対し， $P_{4 k}, P_{4 k + 1}, P_{4 k + 2}, P_{4 k + 3}$ は，それぞれ辺 $AB$ ， $BC$ ， $CD$ ， $DA$ 上にある。
（ii） $P_{0} = A, P_{4 n} = B$ 。

このとき，

i = 0 \sum 4 n - 1 P_{i} P_{i + 1}

のとりうる値の最小値を $n$ を用いて表すと［ウ］である。

（4） $n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $O$ を中心とする半径 $3$ の球面上に $n$ 個の頂点をもつ正 $n$ 角形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ を考える。点 $O$ から正 $n$ 角形 $A_{1} A_{2} A_{3} \dots A_{n}$ を含む平面に下ろした垂線を $OH$ とする。 $OH = 2$ のとき， $1 ≦ i < j ≦ n$ である $i, j$ に対する内積 $OA_{i} \cdot OA_{j}$ の総和

i = 1 \sum n - 1 (j = i + 1 \sum n OA_{i} \cdot OA_{j})

を $n$ を用いて表すと［エ］である。

【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第1問

3早稲田大学 2026 商学部（数学型）

空間において，点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円を $S$ ，円 $S$ を底面にもち点 $P$ を頂点とする直円錐を $V$ とする。円 $S$ の周上に $4$ 点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ を $AB = CD = 2$ ， $AB ⊥ CD$ となるようにとる。直線 $CD$ を含み， $PA$ と平行な平面を $α$ とする。 $PA = 6$ のとき，次の設問に答えよ。

（1）円 $S$ と平行な平面で， $V$ との共通部分が半径 $r$ の円となるものを $β_{r}$ とする。 $α$ と $β_{r}$ の交線と $V$ の共通部分が長さ $l$ の線分となるとき， $l$ を $r$ を用いて表せ。また，この線分を含む直線と点 $O$ の距離 $d$ を $r$ を用いて表せ。

（2）線分 $AB$ を $t : (1 - t)$ に内分する点を通り， $α$ と平行な平面を $α_{t}$ とする。 $t$ を $0 < t < 1$ の範囲で変化させたとき， $α_{t}$ と $V$ の共通部分の面積の最大値を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学商学部（数学型）数学第3問

同じ大学の問題

5早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

関数 $f (x) = x lo g x$ について，以下の問に答えよ。ただし， $lo g$ は自然対数， $e$ は自然対数の底を表す。必要ならば， $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ を用いてよい。

（1） $y = f (x)$ の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ。

（2）実数 $a$ に対して， $g (x) = a x - 1$ とする。曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数は， $a$ の値によってどのように変わるか調べよ。

（3）曲線 $y = f (x)$ と直線 $y = g (x)$ の共有点の個数が1個のとき，曲線 $y = f (x)$ ，直線 $y = g (x)$ および直線 $x = \frac{1}{e}$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第5問

4早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

$a (1) = 2$ とし， $a (2), a (3), a (4), \dots$ を次の関係で定める。

a (2 n) a (2 n + 1) = 3 a (n) + 1, = 3 a (n) + 2 (n = 1, 2, \dots)

以下の問に答えよ。

（1） $a (7), a (9)$ を求めよ。

（2）自然数 $n$ に対して， $a (2^{n} + 1)$ は，1または2のいずれかの値をとるような $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ を用いて，

a (2^{n} + 1) = k = 0 \sum n b_{k} \cdot 3^{k}

と表せる。 $b_{0}, b_{1}, \dots, b_{n}$ をそれぞれ求めよ。

（3）自然数 $n$ に対して， $k = 1 \sum 2^{n} - 1 a (k)$ を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第4問

3早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

座標空間内に点 $A (0, 0, 1)$ ，点 $B (1, 1, 0)$ ，および実数 $a$ を用いて表される点 $P (a, 0, 0)$ をとる。さらに，2点 $(0, 2, 0)$ ， $(0, 0, 2)$ を通る直線を $ℓ$ として，3点 $A, B, P$ が定める平面と直線 $ℓ$ との交点を $Q$ とする。

（1）点 $Q$ の座標を $a$ を用いて表せ。

（2）4点 $A, B, P, Q$ が四角形 $APBQ$ を成し，線分 $AB$ と線分 $PQ$ が交わるための $a$ の条件を求めよ。

（3） $a$ が（2）の条件を満たすとき，四角形 $APBQ$ の面積を $a$ を用いて表せ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第3問

2早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

$k$ を自然数とする。方程式

m - n + m + n - \frac{1}{k} mn = 0

を満たす自然数の組 $(m, n)$ を自然数解と呼ぶ。以下の問に答えよ。

（1）自然数解 $(m, n)$ が存在するならば， $2 k^{2} ≦ n < 4 k^{2}$ であることを示せ。

（2）それぞれの $k$ に対して，自然数解が少なくとも1つ存在し，その個数は $2 k$ より小さいことを示せ。

（3） $k = 3$ のとき，自然数解をすべて求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第2問

1早稲田大学 2026 基幹・創造・先進理工学部

次の関数 $f (x)$ について，以下の問に答えよ。

f (x) = 8^{x} - \frac{15}{2} \cdot 4^{x} + \frac{63}{4} \cdot 2^{x} - \frac{57}{8}

（1） $f (x)$ の極大値 $M$ と極小値 $m$ を求めよ。

（2）（1）で求めた $M, m$ に対して， $a ≦ x ≦ b$ における $f (x)$ の最大値が $M$ ，最小値が $m$ となるような実数の組 $(a, b)$ のうち， $b - a$ が最小となる組を求めよ。

【解答・解説】2026年早稲田大学基幹・創造・先進理工学部数学第1問

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3麻布大学 2025 獣医学科第Ⅰ期B日程

A氏が犬を連れて家に帰る途中，家から $L$ メートルの地点に来たときに犬が家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返して再びA氏のもとへ戻ってきた。そして，A氏のもとに戻るとまたすぐに家に向かって走り出し，家に着くとすぐに引き返しA氏のところへ戻った。犬は，この一連の往復運動をA氏が家に着くまで繰り返した。犬が走る速さはA氏が歩く速さの $4.5$ 倍であるとし，A氏と犬はそれぞれ常に一定の速さで移動すると仮定する。次の問いに答えよ。

（1） $k$ 回目（ $k ≧ 1$ ）にA氏のもとから家に向かって走り出したとき，その地点から家までの距離を $a_{k}$ （メートル）とする。犬の移動距離はA氏の歩いた距離の $\frac{ヤ}{ユ}$ 倍であることに注意すると，

a_{2} = \frac{ヨ}{ラリ} L, a_{k + 1} = \frac{ル}{レロ} a_{k} (k ≧ 1)

である。

（2） $k$ 回目にA氏のもとから家に向かって走り出し，再びA氏のもとに戻ってくるまでに犬が移動する距離は， $\frac{ワン}{あい} L \cdot (\frac{う}{えお})^{k - 1}$ である。

（3） $1$ 回目に家に向かって走り出してから $k + 1$ 回目に家に向かって走り出すまでに犬が移動する距離は， $\frac{か}{き} L \cdot ⎩ ⎨ ⎧ 1 - (\frac{く}{けこ})^{k} ⎭ ⎬ ⎫$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

3麻布大学 2024 獣医学科第Ⅰ期B日程

条件

{a_{n + 2} a_{n} + a_{n + 1}^{2} = 5 a_{n + 1} a_{n} (n = 1, 2, 3, \dots), a_{1} = 1, a_{2} = 3

で定められる数列 ${a_{n}}$ について以下の問いに答えよ。

（1） $b_{n} = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (n ≧ 1)$ とおくと， $b_{n + 1} + b_{n} = ミ$ である。このことから数列 ${b_{n}}$ の一般項は，

b_{n} = \frac{ム + ( メモ ) ^{n - 1}}{ヤ}

となる。したがって， $b_{n + 1} b_{n} = ユ$ である。

（2） $n ≧ 2$ のとき $a_{n} = a_{1} \cdot \frac{a _{2}}{a _{1}} \cdot \frac{a _{3}}{a _{2}} \dots \frac{a _{n}}{a _{n - 1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

a_{2 k + 1} = ヨ^{k}, a_{2 k} = \frac{ラ}{リ} ル^{k} (k ≧ 1)

である。

（3） ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_{n}$ とおくとき，

S_{2 k + 1} S_{2 k} = \frac{レ \cdot ロ ^{k} - ワ}{ン}, = \frac{あ ( い ^{k} - う )}{え} (k ≧ 1)

である。

【解答・解説】2024年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

1麻布大学 2025 獣医学科第Ⅱ期

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\frac{Y}{X} = アイ$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f (sin x) = cos 4 x$ を満たす関数 $f (x)$ は， $f (x) = ウ x^{4} - エ x^{2} + オ$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

\frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{3}{3}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{2 n - 1}, \frac{2}{2 n - 1}, \dots, \frac{2 n - 1}{2 n - 1}, \frac{1}{2 n + 1}, \dots

において $\frac{8}{29}$ は第 $カキク$ 項の数である。

（4） $A$ を9で割ると8余る整数とするとき， $A^{4}$ を9で割った余りは $ケ$ であり， $A^{2025}$ を9で割った余りは $コ$ である。

【解答・解説】2025年麻布大学獣医学科第Ⅱ期数学第1問

3麻布大学 2026 獣医学科第Ⅰ期B日程

有理数からなる数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ を

(\frac{1 + 5}{2})^{n} = a_{n} + b_{n} 5

によって定める。次の問いに答えよ。

（1） $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いて表すと，

a_{n + 1} b_{n + 1} = \frac{ナ}{ニ} a_{n} + \frac{ヌ}{ネ} b_{n}, = \frac{ノ}{ハ} a_{n} + \frac{ヒ}{フ} b_{n}

である。また， $a_{n}^{2} - 5 b_{n}^{2} = (ヘホ)^{n}$ である。

（2） $c_{n} = a_{n} - b_{n} 5$ とするとき，数列 ${c_{n}}$ の一般項は

c_{n} = \frac{マ - ミ}{ム}^{n}

である。

（3）数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ の一般項は

a_{n} b_{n} = \frac{メ}{モ ^{n + 1}} {(ヤ + ユ)^{n} + (ヨ - ラ)^{n}}, = \frac{リ}{ル ^{n} \cdot レロ} {(ヤ + ユ)^{n} - (ヨ - ラ)^{n}}

である。

【解答・解説】2026年麻布大学獣医学科第Ⅰ期B日程数学第3問

4慶應義塾大学 2026 理工学部

複素数平面上の異なる3点 $A (α)$ ， $B (β)$ ， $C (γ)$ に対して，等式

(p + i) α - 2 pβ + (p - i) γ = 0

が成り立つとする。ただし， $i$ は虚数単位であり， $p$ は正の数である。

（1）線分 $AC$ の中点を $M$ とする。 $M$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに， $M$ を表す複素数を用いて，線分 $AC$ と直線 $BM$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ は， $z_{1} = β$ ， $z_{2} = γ$ であり，等式

(p + i) α - 2 p z_{n} + (p - i) z_{n + 1} = 0 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

を満たすとする。このとき，3点 $α$ ， $z_{n}$ ， $z_{n + 1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_{n}$ とする。

（2） $∣ α - γ ∣ = p$ のとき， $S_{1}$ と $S_{2}$ をそれぞれ $p$ の式で表すと， $S_{1} = チ$ ， $S_{2} = ツ$ となる。

さらに， $p = 3$ ， $∣ α - γ ∣ = 3$ とする。

（3） $\frac{S _{n}}{S _{1}}$ を $n$ のみを用いた式で表すと， $\frac{S _{n}}{S _{1}} = テ$ となる。

（4） $α$ と $β$ が， $α < β$ を満たす実数である場合を考える。また， $N$ を $z_{N + 1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき， $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $z_{N}$ ， $z_{N + 1}$ を頂点とする多角形の面積は $ト$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

【解答・解説】2026年慶應義塾大学理工学部数学第4問

1麻布大学 2026 獣医学科第Ⅱ期

以下の問いに答えよ。

（1）（i） $2^{- \frac{5}{7}} \times 6^{\frac{13}{7}} \times 1 4^{\frac{6}{7}} \times 2 1^{\frac{1}{7}} = アイウ$ 。

（ii）対数方程式 $lo g_{4} (x - 2) + lo g_{4} (x - 17) = 2$ の解は， $x = エオ$ である。

（2） $k$ を定数とする。 $x$ の方程式 $x (1 - x)^{2} = k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は， $カ < k < \frac{キ}{クケ}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\frac{7}{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $コ$ 本ある。

（4）初項が $a$ ，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a = サシ, d = ス$ である。

重要知識と着眼点

（1）両辺を n2(n+1)2n^2(n+1)^2n2(n+1)2 で割り、同じ形のかたまりを作る

置き換えを使う漸化式の解き方

差の形に分解できる数列の和の求め方

（2）ana_nan​ を nnn の2次式とみて、軸の近くの整数を調べる

2次関数の軸・頂点の求め方（平方完成）

整数解を求める問題の定石

解答

（1）

（2）

問題データ

講評

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