慶應義塾大学の数学過去問

以下の問いに答えなさい。

(i) Aさんはバスケットボールのシュート練習を4日間行い，練習回数は1日目が100回，2日目が110回，3日目が90回，4日目が100回であった。このとき，1日目から3日目までの3日間の練習回数の分散は $\frac{\boxed{\text{(1)(2)(3)}}}{\boxed{\text{(4)}}}$ である。また，1日目から4日目までの4日間の練習回数の分散は $\boxed{\text{(5)(6)}}$ である。

(ii) 座標平面上の点 $(x,y)$ が連立不等式

の表す領域を動くとき，$x+y$ の最大値は $\boxed{\text{(7)(8)}}$ である。

(iii) 数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ が

を満たすとき，

であり，

である。

(iv) 空欄 $\boxed{\text{(22)}}$ 〜 $\boxed{\text{(24)}}$ に当てはまる最も適切な文を下の選択肢から選び，その番号を解答用紙A（マークシート）の解答欄 $\boxed{\text{(22)}}$ 〜 $\boxed{\text{(24)}}$ にマークしなさい。

1. 必要条件であるが十分条件でない
   
2. 十分条件であるが必要条件でない
   
3. 必要十分条件である
   
4. 必要条件でも十分条件でもない
   

実数 $x$ に関する3つの条件 $p,q,r$ を次のように定める。

このとき，以下が成り立つ。

• $r$ は $q$ であるための $\boxed{\text{(22)}}$。
  
• $p$ は「$q$ かつ $\overline{r}$」であるための $\boxed{\text{(23)}}$。
  
• $\overline{p}$ は「$\overline{q\text{または}r}$」であるための $\boxed{\text{(24)}}$。
  

(v) $0\leqq \theta <2\pi$ のとき，$\cos 3\theta -6{\cos }^2\theta +5=0$ を満たす $\cos \theta$ の値をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間に，3点

をとる。さらに，$s$ と $t$ を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ となる点 $\mathrm{P}$ と点 $\mathrm{Q}$ を定める。

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ のなす角を $\theta$ とすると，$\cos \theta =\frac{\boxed{\text{(25)}}}{\boxed{\text{(26)}}}$ である。

(ii) 3点 $\mathrm{O},\mathrm{B},\mathrm{C}$ が定める平面上の点 $(x,y,z)$ は

を満たす。

(iii) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$ を $s$ で表すと，$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=\sqrt{s^2-\boxed{\text{(31)}}s+\boxed{\text{(32)}}}$ である。

(iv) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|$ となるのは，

が成り立つときである。

(v) $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ を $s$ と $t$ で表すと，

である。

(vi) $|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}|$ となる実数の組 $(s,t)$ をすべて求めなさい。（答えのみを解答用紙Bの解答欄の所定の枠内に記入しなさい。）

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

$f(x)=x^3-6x^2+8x+16$ とし，曲線 $C:y=f(x)$ と2つの直線 $l:y=g(x)$，$m:y=h(x)$ を考える。直線 $l$ は点 $(4,16)$ における曲線 $C$ の接線である。また，直線 $l$ と直線 $m$ は平行であり，直線 $m$ は原点を通る。

(i) $g(x)=\boxed{\text{(43)}}x-\boxed{\text{(44)(45)}}$ である。

(ii) 曲線 $C$ と直線 $m$ の交点の $x$ 座標を小さい順に $x_1,x_2,x_3$ とすると

である。また，$f(x_2)=\boxed{\text{(53)(54)}}$ である。

(iii) ${\int }_2^4\{f(x)-g(x)\}dx=\boxed{\text{(55)(56)}}$ である。

(iv) $y=|g(x)|$ のグラフと曲線 $C$ の共有点は2つあり，それらの座標は $(4,16)$ と $\boxed{\text{（ア）}}$ である。また，${\int }_0^4\{f(x)-|g(x)|\}dx=\boxed{\text{（イ）}}$ である。

(v) ${\int }_0^2\{f(x)-h(x)\}dx=\boxed{\text{（ウ）}}$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
問題I(v)，II(vi)，およびIII(iv)(v)の解答は解答用紙Bの所定の位置に記入し，それ以外の問題の解答は解答用紙A（マークシート）にマークしなさい。
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

1から8までの整数を1つずつ書いた8枚のカードがあり，そのうち奇数が書かれたカード4枚が箱Xに，偶数が書かれたカード4枚が箱Yに入っている。A，B，C，Dの4人が次のようにカードを引く。

• まず，A，Bがこの順に箱Xからカードを1枚ずつ引く。
  
• 次に，C，Dがこの順に箱Yからカードを1枚ずつ引く。
  

ただし，引いたカードはX，Yいずれの箱にも戻さないものとする。A，B，C，Dが引いたカードに書かれた数をそれぞれ $a,b,c,d$ とする。

(i) $a-b=2$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(57)}}}{\boxed{\text{(58)}}}$ であり，$|a-b|=2$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(59)}}}{\boxed{\text{(60)}}}$ である。

(ii) $|a-c|=1$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(61)}}}{\boxed{\text{(62)(63)}}}$ であり，$c-a=d-b=1$ である確率は $\frac{\boxed{\text{(64)}}}{\boxed{\text{(65)(66)}}}$ である。

(iii) $|a-c|$ の期待値は $\frac{\boxed{\text{(67)(68)}}}{\boxed{\text{(69)}}}$ である。

(iv) $|a-c|=1$ である事象を $S$ とし，$|b-d|=1$ である事象を $T$ とする。$S$ が起こったときの $T$ が起こる条件付き確率は $\frac{\boxed{\text{(70)(71)}}}{\boxed{\text{(72)(73)}}}$ である。

（問題冊子2ページ「解答するにあたっての注意」より抜粋）
分数形で解答する場合，それ以上約分できない形で解答しなさい。根号を含む形で解答する場合，根号の中に現れる自然数が最小となる形で解答しなさい。それ以外でも，できるだけ簡単な形で解答しなさい。

座標平面上において，原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $1$ の円を $C$ とし，点 $\mathrm{A}(3,0)$ を通り傾きが $t$ の直線を $l$ とする。

（1）円 $C$ と直線 $l$ がただ1つの共有点をもつとき，その点の $x$ 座標は $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）円 $C$ と直線 $l$ が異なる2点で交わるような $t$ の値の範囲は $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ である。

以下，$t$ が $\boxed{\text{イ}}<t<\boxed{\text{ウ}}$ を満たすように動くとする。このとき，円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点を結ぶ線分の中点を $\mathrm{M}$ とする。

（3）線分 $\mathrm{OM}$ の長さを $t$ の式で表すと，$\boxed{\text{エ}}$ である。

（4）点 $\mathrm{M}$ の軌跡の方程式は $\boxed{\text{オ}}=0$ である。ただし，$x$ の範囲は $0\leqq x<\boxed{\text{ア}}$ である。

（5）円 $C$ と直線 $l$ の2つの交点と原点 $\mathrm{O}$ を頂点とする三角形を，直線 $l$ のまわりに1回転してできる立体の体積を $V$ とする。$V$ が最大となる $t$ の値は $\boxed{\text{カ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

空間内に点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ をとる。点 $\mathrm{P}$ と平面 $\alpha$ 上の3点 $\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ に対して，

が成り立つとする。線分 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{Q}$ を，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ が垂直であるようにとる。

（1）$\cos \angle \mathrm{POB}=\boxed{\text{キ}}$ である。

（2）$t=\frac{\mathrm{AQ}}{\mathrm{AB}}$ とおく。このとき，$t$ の値およびそれを求める過程を解答欄（2）に記述しなさい。

（3）$\mathrm{OQ}=\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）点 $\mathrm{P}$ を通り平面 $\alpha$ に垂直な直線と $\alpha$ の交点を $\mathrm{H}$ とする。このとき，実数 $k$ と $l$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+l\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と表すと，$l=\boxed{\text{ケ}}$ となる。

（5）点 $\mathrm{P}$ が平面 $\alpha$ 上にあるのは，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$ の値が $\boxed{\text{コ}}$ または $\boxed{\text{サ}}$ のときである。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

表の出る確率が $\frac{1}{2}$ の硬貨が1枚ある。$n$ を正の整数とする。

（1）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $a$ とする。さらに続けて硬貨を $n$ 回投げたうちで，表が出た回数を $b$ とする。このとき，$a$ と $b$ の積が $0$ である確率を $n$ の式で表すと $\boxed{\text{シ}}$ である。「$a$ と $b$ の和が $n$ である」という事象の起こる場合の数を $M_n$ とおく。$n=5$ のとき，$M_5=\boxed{\text{ス}}$ である。また，

である。ただし，$\log x$ は $x$ の自然対数とする。

（2）硬貨を $n$ 回投げ，表が出た回数を $c$ とする。さらに続けて硬貨を $c+1$ 回投げたうちで，表が出た回数を $d$ とする。このとき，「$c=0$ である」という事象を $C$ とし，「$d=0$ である」という事象を $D$ とする。$n=4$ のとき，事象 $D$ の起こる確率は $\boxed{\text{ソ}}$ である。また，一般の $n$ に対して，事象 $D$ が起こったときに事象 $C$ の起こる条件付き確率は $\boxed{\text{タ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

複素数平面上の異なる3点 $\mathrm{A}(\alpha )$，$\mathrm{B}(\beta )$，$\mathrm{C}(\gamma )$ に対して，等式

が成り立つとする。ただし，$i$ は虚数単位であり，$p$ は正の数である。

（1）線分 $\mathrm{AC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。$\mathrm{M}$ を表す複素数を解答欄（1）に印刷されている文の下線部に記入しなさい。さらに，$\mathrm{M}$ を表す複素数を用いて，線分 $\mathrm{AC}$ と直線 $\mathrm{BM}$ が垂直に交わることの証明を記述しなさい。

以下，複素数 $z_n(n=1,2,3,\cdots \cdots )$ は，$z_1=\beta$，$z_2=\gamma$ であり，等式

を満たすとする。このとき，3点 $\alpha$，$z_n$，$z_{n+1}$ を頂点とする三角形の面積を $S_n$ とする。

（2）$|\alpha -\gamma |=p$ のとき，$S_1$ と $S_2$ をそれぞれ $p$ の式で表すと，$S_1=\boxed{\text{チ}}$，$S_2=\boxed{\text{ツ}}$ となる。

さらに，$p=\sqrt{3}$，$|\alpha -\gamma |=\sqrt{3}$ とする。

（3）$\frac{S_n}{S_1}$ を $n$ のみを用いた式で表すと，$\frac{S_n}{S_1}=\boxed{\text{テ}}$ となる。

（4）$\alpha$ と $\beta$ が，$\alpha <\beta$ を満たす実数である場合を考える。また，$N$ を $z_{N+1}$ が実数となるような最小の正の整数とする。このとき，$z_1$，$z_2$，$\cdots \cdots$，$z_N$，$z_{N+1}$ を頂点とする多角形の面積は $\boxed{\text{ト}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。

（1）$i$ を虚数単位とし，実数 $\theta$ に対して $f(\theta )=\cos \theta +i\sin \theta$ とおく。実数 $a$ に対して，$f({\theta }_1)=\{f(a){\}}^3$ を満たす ${\theta }_1$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_1=\boxed{\text{ナ}}$ であり，

を満たす ${\theta }_2$ の1つを $a$ を用いて表すと ${\theta }_2=\boxed{\text{ニ}}$ である。

（2）$\theta$ の関数 ${\cos }^4\theta$ を適切な有理数 $b$，$c$，$d$ を用いて $b+c\cos 2\theta +d\cos 4\theta$ の形で表すと，${\cos }^4\theta =\boxed{\text{ヌ}}$ となる。

（3）座標平面上で不等式 $0\leqq y\leqq x$ の表す領域において方程式 $(x^2+y^2{)}^3=(x^2-y^2{)}^2$ が定める曲線を $C$ とする。座標平面において，原点を極，$x$ 軸の正の部分を始線とする極座標 $(r,\theta )$ を考えると，$C$ の極方程式は $\boxed{\text{ネ}}$ となる。ただし，$\theta$ の動く範囲は $\boxed{\text{ノ}}$ である。また，曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積は $\boxed{\text{ハ}}$ である。

（注意）空欄については，分数は既約分数にするなど最もふさわしいもの（数，式など）を記入する。