【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期B日程 数学 第3問

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,\ y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\dfrac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},\ y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},\ y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

座標平面において直線 $y=\dfrac12x$ 上の点 $\left(p,\ \dfrac12p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell,\ m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha,\ \beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha,\ \beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}x^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\dfrac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

条件

で定められる数列 $\{a_n\}$ について以下の問いに答えよ。

（1）$b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\ (n\geqq1)$ とおくと，$b_{n+1}+b_n=\boxed{\text{ミ}}$ である。このことから数列 $\{b_n\}$ の一般項は，

となる。したがって，$b_{n+1}b_n=\boxed{\text{ユ}}$ である。

（2）$n\geqq2$ のとき $a_n=a_1\cdot\dfrac{a_2}{a_1}\cdot\dfrac{a_3}{a_2}\cdots\dfrac{a_n}{a_{n-1}}$ であることに注意すると，（1）の結果から

である。

（3）$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とおくとき，

である。

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\dfrac YX=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}x^4-\boxed{\text{エ}}x^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\dfrac8{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。