【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅰ期E日程 数学 第3問

（1）$a>0$ とする。$2x^2-(4a+3)x+6a$ を因数分解すると $(\boxed{\text{ア}}x-\boxed{\text{イ}})(x-\boxed{\text{ウ}}a)$ となるから，$x$ の不等式 $2x^2-(4a+3)x+6a<0$ をみたす整数 $x$ がちょうど3個となる $a$ の範囲は $\boxed{\text{エ}}<a\leqq\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}$ である。

（2）$\boxed{a}\ \boxed{a}\ \boxed{a}\ \boxed{b}\ \boxed{b}\ \boxed{c}\ \boxed{c}$ の7文字の並べ方は全部で $\boxed{\text{キクケ}}$ 通りある。このうち，両端の文字が一致するような並べ方は $\boxed{\text{コサ}}$ 通りある。

（3）不等式 $6x^2-13x+6\leqq0$ をみたす $x$ の範囲は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\leqq x\leqq\dfrac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}$ である。 $y=5x^2-8x+7$ とすると，$x$ がこの範囲を動くとき，$y$ の最大値は $\dfrac{\boxed{\text{タチ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（4）$\cos3\theta$ を $\cos\theta$ を用いて表すと $\cos3\theta=\boxed{\text{テ}}\cos^3\theta-\boxed{\text{ト}}\cos\theta$ となり，$0\leqq\theta<2\pi$ において $\cos3\theta+\cos\theta=0$ をみたす $\theta$ で最大のものは $\theta=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}\pi$ である。

四角形 $ABCD$ は円に内接し，辺 $AB$ と辺 $AD$ の長さはそれぞれ $8,5$ であり，対角線 $BD$ の長さは $7$ である。また，辺 $BC$ と辺 $CD$ は長さが等しい。

（1）$\cos\angle BAD=\dfrac{\boxed{\text{ヌ}}}{\boxed{\text{ネ}}}$ より辺 $BC$ の長さは $\dfrac{\boxed{\text{ノ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ハ}}}}$ であり，四角形 $ABCD$ の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ヒフヘ}}}{\boxed{\text{ホマ}}}\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}$ である。

（2）$\cos\angle ABD=\dfrac{\boxed{\text{ムメ}}}{\boxed{\text{モヤ}}}$ である。対角線 $AC$ と対角線 $BD$ の交点を $E$ とすると，線分の長さの比について，$BE:ED=\boxed{\text{ユ}}:\boxed{\text{ヨ}}$ であるから，$AE$ の長さは $\dfrac{\boxed{\text{ラリ}}}{\boxed{\text{ルレ}}}\sqrt{\boxed{\text{ロ}}}$ であり，対角線 $AC$ の長さは $\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あ}}}\sqrt{\boxed{\text{い}}}$ である。

$c$ を定数とする。関数 $f(x)=x^3-6x^2-36x+c$ は極大値と極小値の和が $0$ である。

（1）$c=\boxed{\text{しす}}$ であり，$f(x)$ は $x=\boxed{\text{せそ}}$ で極大値 $\boxed{\text{たちつ}}$ をとる。また，座標平面において，曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(5,\ f(5))$ における接線の方程式は $y=\boxed{\text{てとな}}x-\boxed{\text{にぬ}}$ である。

（2）$c$ を（1）で求めた値とする。曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる曲線の方程式は $y=x^3-\boxed{\text{ねの}}x$ となることから，曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸で囲まれる2つの図形の面積の和は $\boxed{\text{はひふへ}}$ となる。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$ とするとき，次の問いに答えよ。

（1）$\left(\dfrac1{15}\right)^{51}$ は，小数点以下第 $\boxed{\text{サシ}}$ 位に初めて0でない数字が現れる。

（2）$2025^{2025}$ は $\boxed{\text{スセソタ}}$ 桁の数で，最高位の桁の数字は $\boxed{\text{チ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$xy\ne0$ かつ $4^x=5^y=20^{26}$ を満たす実数 $x,\ y$ について $\dfrac1x+\dfrac1y=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}$ である。

（2）$a=\sin\dfrac{\pi}{18}$ のとき，$3a-4a^3=\dfrac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）座標空間の2点 $\mathrm{A}(2,\ 1,\ -2),\ \mathrm{B}(-1,\ -5,\ 1)$ を通る直線を $\ell$ とする。 原点 $\mathrm{O}$ を通る直線が $\ell$ と垂直に交わるとき，その交点の座標は $\left(\boxed{\text{カ}},\ \boxed{\text{キク}},\ \boxed{\text{ケコ}}\right)$ である。

（4）$(x^2+2x-1)^9$ の展開式における $x^4$ の項の係数は，$\boxed{\text{サシスセソ}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない