【解答・解説】2024年 麻布大学 獣医学科 第Ⅱ期 数学 第1問

半径 $\sqrt{14}$ の円 $C$ において，長さ $\sqrt{42}$ の弦ABをとる。さらに，ABを底辺の一つとする，$\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ の台形ABCDを考える。ただし，台形ABCDは円 $C$ に内接し，$C$ の中心Oをその内部に含むとする。もう一つの底辺DCの長さが $\sqrt{14}$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$\angle\mathrm{ADB}=\boxed{\text{ナニ}}{}^\circ,\ \angle\mathrm{CAB}=\boxed{\text{ヌネ}}{}^\circ$ である。

（2）$\mathrm{DA}=\boxed{\text{ノ}}\sqrt{\boxed{\text{ハ}}},\ \mathrm{BD}=\sqrt{\boxed{\text{ヒ}}}+\sqrt{\boxed{\text{フヘ}}}$ である。

（3）等脚台形ABCDの面積は，$\boxed{\text{ホ}}\left(\boxed{\text{マ}}+\sqrt{\boxed{\text{ミ}}}\right)$ である。

1から9までの相異なる整数 $a,b,c,d,e,f,g,h,i$ を下図のように配置した。横に並ぶ3つの数の和 $a+b+c,\ d+e+f,\ g+h+i$ がすべて一定値 $A$ であり，縦に並ぶ3つの数の和 $a+d+g,\ b+e+h,\ c+f+i$ および対角線上にある数の和 $a+e+i,\ c+e+g$ もすべて $A$ であるとき，次の問いに答えよ。

（1）$A=\boxed{\text{ムメ}},\ e=\boxed{\text{モ}}$ である。

（2）$a>c,\ b=1$ のとき，

である。

（3）$c<g,\ f+h=4$ のとき，

である。

$p$ を実数とする。2つの関数

について以下の問いに答えよ。

（1）$p=2$ のとき，曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ は点 $\left(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}}\right)$ に関して点対称である。

（2）2つの曲線 $y=f(x)$ と $y=g(x)$ が相異なる2点で交わるような $p$ の値の範囲は，$\boxed{\text{く}}-\sqrt{\boxed{\text{け}}}<p<\boxed{\text{こ}}+\sqrt{\boxed{\text{さ}}}$ である。

（3）2つの曲線が囲む部分の面積は，$p=\boxed{\text{し}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{す}}\sqrt{\boxed{\text{せ}}}$ をとる。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

以下の問いに答えよ。

（1）$\,{}_{2025}C_1+{}_{2025}C_2+\cdots+{}_{2025}C_{2025}$ を $8$ で割った余りは $\boxed{\text{ア}}$ である。

（2）$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき $2\cos\theta+\sin\theta=\dfrac{\boxed{\text{イ}}}{\sqrt{\boxed{\text{ウエ}}}}$ である。

（3）$i$ を虚数単位とする。$x$ の2次方程式 $x^2+(i-a)x-5+(a-3)i=0$ が実数解をもつような実数 $a$ の値は，$a=\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}},\ \boxed{\text{キ}}$ であり，実数解はそれぞれ $x=\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}},\ \boxed{\text{コサ}}$ である。

（4）$\vec a=(3,\ 7),\ \vec b=(1,\ -3)$ のとき $|\vec a+t\vec b|$ を最小にする $t$ の値は $\dfrac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}$ であり，最小値は $\dfrac{\boxed{\text{セ}}\sqrt{\boxed{\text{ソタ}}}}{\boxed{\text{チ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

（1）$x,\ y$ が $x+y=5,\ x^2+y^2=7$ をみたすとき，$xy=\boxed{\text{ア}},\ x^5+y^5=\boxed{\text{イウエオ}}$ である。

（2）2次方程式 $x^2-kx+6-k=0$ が実数解をもつとき，$k$ のとり得る範囲は

である。 また，2解がともに正の実数となるとき，$k$ の値で整数となるものは $\boxed{\text{コ}}$ 個ある。

（3）$y=-\cos2\theta-3\sin\theta-1\ \left(-\dfrac{\pi}{2}\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}\right)$ について，$y=0$ のとき $\theta=\dfrac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}\pi$ である。 また，$y$ の最大値は $\boxed{\text{セ}}$ である。

（4）方程式 $xy-2x-4y+2=0$ をみたす整数 $x,\ y$ の組は $\boxed{\text{ソ}}$ 個ある。 また，方程式 $xy-2x-4y=n-8$ をみたす整数 $x,\ y$ の組が16個となる正の整数 $n$ で最も小さいものは $n=\boxed{\text{タチ}}$ である。

$x$ の4次方程式

の解がすべて実数となるような，定数 $a,\ b$ の範囲を知りたい。 以下の生徒と教師の会話文を読み，適切な数値を解答欄にマークせよ。 $\boxed{\text{タ}}$，$\boxed{\text{ト}}$ については，適切な選択肢を各々の解答群から1つずつ選択せよ。

生徒：2次方程式であれば実数解をもつ条件が判別式から求められましたが，4次方程式の場合は習っていません。

教師：まず，$x=0$ は解ではないから①の両辺を $x^2$ で割ってみよう。すると①は

$$4x^2+2ax+b+\frac{a}{2x}+\frac1{4x^2}=0$$

となるね。このとき $y=2x+\dfrac1{2x}$ とおくと①は，

$$\boxed{\text{タ}}=0\tag{\textcircled{2}}$$

と変形できるよ。

生徒：$y$ に関する2次方程式になりました。あとはこの2次方程式が実数解を持つ条件を求めて解決ですね。

教師：話はそう単純じゃないんだ。例えば，$y=0$ のときを考えるとわかるように，$y$ が実数であっても $x$ が実数にならない場合があるよ。だから $x$ が実数となるための $y$ の条件を考える必要があるんだ。

生徒：そのような $y$ の条件は，$y\le\boxed{\text{チツ}}$ または $y\ge\boxed{\text{テ}}$ です。

教師：そうだね。つまり，①の解が実数となるための $a$ の条件は，②がその範囲で解を持つことなんだ。

生徒：わかりました，これで $a,\ b$ の存在範囲が求められますね。

教師：では，それを $ab$-平面に図示すると，どのような図が描けるかな。

生徒：$(a,\ b)$ の存在範囲の概略は，境界を含む斜線部分 $\boxed{\text{ト}}$ になります。

タの解答群

トの解答群

$xy$ 平面内に原点を中心とする半径 $1$ の円 $C$ がある。$C$ 上の任意の点 $(x,\ y)$ に対して $t=x+y$ とおくとき，次の問いに答えよ。

（1）$xy$ を $t$ の式で表すと $xy=\dfrac{t^2-\boxed{\text{ツ}}}{\boxed{\text{テ}}}$ であり，$t$ が取りうる値の範囲は $-\sqrt{\boxed{\text{ト}}}\leqq t\leqq\sqrt{\boxed{\text{ナ}}}$ である。

（2）$z=x+xy+y$ は，$x=\boxed{\text{ニヌ}},\ y=\boxed{\text{ネ}}$ または $x=\boxed{\text{ノ}},\ y=\boxed{\text{ハヒ}}$ のとき最小値 $\boxed{\text{フヘ}}$ をとり，$x=y=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ホ}}}}{\boxed{\text{マ}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ミ}}+\boxed{\text{ム}}\sqrt{\boxed{\text{メ}}}}{\boxed{\text{モ}}}$ をとる。

座標平面において直線 $y=\dfrac12x$ 上の点 $\left(p,\ \dfrac12p\right)$ から曲線 $y=x^2+1$ に引いた2本の接線を $\ell,\ m$ とし，接点の $x$ 座標をそれぞれ $\alpha,\ \beta$（ただし，$\alpha<\beta$）とする。次の問いに答えよ。

（1）$\alpha,\ \beta$ の和と積を $p$ の式で表すと，

である。したがって，$\alpha,\ \beta$ は $x$ の2次方程式 $\boxed{\text{そ}}x^2-\boxed{\text{た}}px+p-\boxed{\text{ち}}=0$ の解である。

（2）$\ell$ と $m$，および曲線で囲まれる部分の面積 $S$ は，

となる。この式から $S$ は $p=\dfrac{\boxed{\text{ね}}}{\boxed{\text{の}}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{は}}\sqrt{\boxed{\text{ひふ}}}}{\boxed{\text{へほ}}}$ をとることがわかる。