【解答・解説】2025年 麻布大学 獣医学科 第Ⅱ期 数学 第4問

以下の問いに答えよ。

（1）A，Z，A，B，Uの5文字を1列に並べる並べ方の総数を $X$ とし，D，A，I，G，A，K，Uの7文字を1列に並べる並べ方の総数を $Y$ とすると $\dfrac YX=\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）すべての実数 $x$ に対して $f(\sin x)=\cos4x$ を満たす関数 $f(x)$ は，$f(x)=\boxed{\text{ウ}}x^4-\boxed{\text{エ}}x^2+\boxed{\text{オ}}$ である。

（3）ある一定の規則で並べられた数列

において $\dfrac8{29}$ は第 $\boxed{\text{カキク}}$ 項の数である。

（4）$A$ を9で割ると8余る整数とするとき，$A^4$ を9で割った余りは $\boxed{\text{ケ}}$ であり，$A^{2025}$ を9で割った余りは $\boxed{\text{コ}}$ である。

$\log_{10}2=0.30103,\ \log_{10}3=0.47712$ とするとき，次の問いに答えよ。

（1）$\left(\dfrac1{15}\right)^{51}$ は，小数点以下第 $\boxed{\text{サシ}}$ 位に初めて0でない数字が現れる。

（2）$2025^{2025}$ は $\boxed{\text{スセソタ}}$ 桁の数で，最高位の桁の数字は $\boxed{\text{チ}}$ である。

$a$ を定数とする。直線 $\ell:y=-x+4$ と曲線 $m:y=x^4-2x^3+ax^2+11x+40$ が2点で接するとき，接点の $x$ 座標はそれぞれ $\boxed{\text{ツテ}},\ \boxed{\text{ト}}$ であり，定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ナニヌ}}$ である。また，曲線 $m$ と直線 $\ell$ が囲む部分の面積は $\dfrac{\boxed{\text{ネノハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}$ である。

1から10までの数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつ合計10枚ある。1枚のコインを投げ，コインの表が出た場合はカードを2枚，裏が出た場合は3枚引くとする。次の問いに答えよ。

（1）引いたカードに書かれている数字がすべて偶数である確率は，$\dfrac{\boxed{\text{ワン}}}{\boxed{\text{あい}}}$ である。

（2）引いたカードに書かれている数字が連続している確率は，$\dfrac{\boxed{\text{う}}}{\boxed{\text{えお}}}$ である。

（3）引いたカードに書かれている数字の合計が11となる確率は，$\dfrac{\boxed{\text{かき}}}{\boxed{\text{くけこ}}}$ である。

有理数からなる数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ を

によって定める。次の問いに答えよ。

（1）$a_{n+1},\ b_{n+1}$ を $a_n,\ b_n$ を用いて表すと，

である。また，$a_n^2-5b_n^2=\left(\boxed{\text{ヘホ}}\right)^n$ である。

（2）$c_n=a_n-b_n\sqrt5$ とするとき，数列 $\{c_n\}$ の一般項は

である。

（3）数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の一般項は

である。

（1）$x=\dfrac{8-3\sqrt6}{4+\sqrt6}$ とする。分母を有理化して表すと $x=\boxed{\text{ア}}-\boxed{\text{イ}}\sqrt{\boxed{\text{ウ}}}$ であり，$x^2+\dfrac1{x^2}=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$f(x)=x^2-7x+18$ の最小値は $\dfrac{\boxed{\text{カキ}}}{\boxed{\text{ク}}}$ である。 また，$f(x)>36$ を満たす $x$ の範囲は $x<\boxed{\text{ケコ}},\ \boxed{\text{サ}}<x$ である。

（3）$x$ の2次方程式

について，①，②がともに実数解をもつような $a$ の値の範囲は $\boxed{\text{シ}}\leqq a\leqq\boxed{\text{ス}}$ であり，①，②の少なくとも一方が実数解をもつような $a$ の値の範囲は $a\leqq\boxed{\text{セソ}},\ \boxed{\text{タ}}\leqq a$ である。

（4）さいころ1個を3回投げる。出た目の積が3の倍数となる確率は $\dfrac{\boxed{\text{チツ}}}{\boxed{\text{テト}}}$ である。 また，出た目の積が4で割り切れない確率は $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$ である。

以下の問いに答えよ。

（1）（i）$2^{-\frac57}\times6^{\frac{13}{7}}\times14^{\frac67}\times21^{\frac17}=\boxed{\text{アイウ}}$。

（ii）対数方程式 $\log_4(x-2)+\log_4(x-17)=2$ の解は，$x=\boxed{\text{エオ}}$ である。

（2）$k$ を定数とする。$x$ の方程式 $x(1-x)^2=k$ が相異なる3つの実数解をもつような $k$ の値の範囲は，$\boxed{\text{カ}}<k<\dfrac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}$ である。

（3）当たりくじが何本か入った20本のくじがある。この中からくじを2本引くとき，少なくとも1本が当たりくじである確率は $\dfrac7{19}$ であった。この20本のくじの中に当たりくじは $\boxed{\text{コ}}$ 本ある。

（4）初項が $a$，公差が $d$ の等差数列がある。この数列の初項から第9項までの和が0で，初項から第15項までの和が90であるとき $a=\boxed{\text{サシ}},\ d=\boxed{\text{ス}}$ である。

半径1の球に内接する直円柱がある。直円柱の高さを $h$，底面の円の半径を $r$ とする。

（1）直円柱の体積 $V$ は，$h$ を用いて

と表せる。$V$ は $h=\dfrac{\boxed{\text{タ}}\sqrt{\boxed{\text{チ}}}}{\boxed{\text{ツ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{テ}}}}{\boxed{\text{ト}}}$ のとき最大値 $\dfrac{\boxed{\text{ナ}}\sqrt{\boxed{\text{ニ}}}}{\boxed{\text{ヌ}}}\pi$ をとる。

（2）直円柱の側面積は，$h=\sqrt{\boxed{\text{ネ}}},\ r=\dfrac{\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}}{\boxed{\text{ハ}}}$ のとき最大値 $\boxed{\text{ヒ}}\pi$ をとる。

$a,\ b$ を実数の定数とし，$x$ の関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x-3,\ g(x)=ax^2+bx$ を考える。 座標平面において $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフは $x$ 座標が1である点を共有し，この点で共通の接線をもつ。

（1）$f(x)$ は $x=\boxed{\text{うえ}}$ で極大値 $\boxed{\text{お}}$，$x=\boxed{\text{か}}$ で極小値 $\boxed{\text{きくけ}}$ をとる。 また，$a=\boxed{\text{こ}},\ b=\boxed{\text{さしす}}$ であり，不等式 $f(x)\leqq g(x)$ を満たす $x$ の範囲は $x\leqq\boxed{\text{せ}}$ である。 また，$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフによって囲まれる図形の面積は $\dfrac{\boxed{\text{そ}}}{\boxed{\text{た}}}$ である。

（2）$h(x)=\displaystyle\int_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$ とおくと，$h(x)$ は $x=\boxed{\text{ち}}$ のとき最小値 $\dfrac{\boxed{\text{つて}}}{\boxed{\text{と}}}$ をとる。

1から15までの整数が1枚に1つずつ書かれた15枚のカードがある。

（1）15枚の中から2枚のカードを同時に取り出すとき，カードに書かれている2つの数の積が偶数である確率は $\dfrac{\boxed{\text{ツテ}}}{\boxed{\text{トナ}}}$ であり，2つの数の和が3の倍数である確率は $\dfrac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}$ である。

（2）15枚の中から3枚のカードを続けて取り出し，取り出した順に $a,\ b,\ c$ とするとき，$a<b<c$ である確率は $\dfrac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}$，$a,\ b,\ c$ を3辺の長さとする直角三角形が存在する確率は $\dfrac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒフヘ}}}$ である。

7個の文字 $a,\ a,\ a,\ b,\ b,\ c,\ d$ について考える。

（1）7文字をすべて並べるとき，並べ方は全部で $\boxed{\text{モヤユ}}$ 通りある。 このうち $b$ が隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ヨラリ}}$ 通りあり，同じ文字どうしが隣り合わない並べ方は $\boxed{\text{ルレ}}$ 通りある。

（2）7個の文字の中から4個の文字を取り出して並べる。このとき，1列に並べる方法は $\boxed{\text{ロワン}}$ 通りあり，円形に並べる方法は $\boxed{\text{あい}}$ 通りある。

ある調査会社が，大学受験を終えた高校3年生にむけて受験校の調査を行い5050人から回答を得た。その結果，A大学を受験した生徒は2680人，B大学を受験した生徒は1725人，C大学を受験した生徒は820人いることがわかった。また，A，B，Cすべての大学を受験した生徒は120人，いずれも受験しなかった生徒は305人であった。

この結果から上記の3大学のうち2つ以上の大学を受験した生徒は $\boxed{\text{ヤユヨ}}$ 人であり，いずれか1大学のみを受験した生徒は $\boxed{\text{ラリルレ}}$ 人であることがわかる。

以下の問いに答えよ。

（1）$\dfrac{3127}{5251}$ を約分したとき，その既約分数は $\dfrac{\boxed{\text{アイ}}}{\boxed{\text{ウエ}}}$ である。

（2）実数 $x,y,z$ について $\dfrac{x+y}{5}=\dfrac{y+z}{2}=\dfrac{z+x}{3}\ (\ne0)$ が成り立つとき，

である。

（3）$x$ の整式 $f(x)$ を $7x-4$ で割った余りが $14$ であるとき，$(6x-3)f(x)$ を $7x-4$ で割ったときの余りは $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$x,y$ に関する連立方程式

$(0\leqq x<2\pi,\ 0\leqq y<2\pi)$ の解は，$x=\dfrac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}\pi,\ y=\dfrac{\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}}\pi$ である。

（5）$x$ の方程式 $(\log_2x)^{\log_2x}=x^3\ (x\ne1)$ の解は，$x=\boxed{\text{スセソ}}$ である。

（6）4個のサイコロを同時に投げたとき，出た目が1と6の2種類のみになる確率は $\dfrac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チツテ}}}$ である。

（7）$x,y$ は実数とする。$x+y>1$ かつ $x^2+y^2\leqq1$ は $x>0$ かつ $y>0$ であるための $\boxed{\text{ト}}$。

• ⓪ 必要条件であるが十分条件ではない
• ① 十分条件であるが必要条件ではない
• ② 必要十分条件である
• ③ 必要条件でも十分条件でもない

以下の問いに答えよ。

（1）$x,y>0$ とする。関数 $\left(x+\dfrac3y\right)\left(y+\dfrac3x\right)$ の最小値は $\boxed{\text{アイ}}$ である。

（2）$-\dfrac\pi2<\theta<\dfrac\pi2$ である $\theta$ について $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}{3}$ が成り立つとき，$\sin\theta-\cos\theta=\dfrac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}$ である。

（3）$k$ を定数とする。$x$ の整式 $x^2-2y^2+xy+kx+2y+4$ が，$x,y$ についての2つの1次式の積に因数分解されるとき，$k$ の値は $\boxed{\text{カキ}}$ または $\boxed{\text{ク}}$ である。

（4）$\vec a=(-5,7),\ \vec b=(6,-4),\ \vec c=(21,19)$ とする。$\vec c=m\vec a+n\vec b$ を満たす実数 $m,n$ は $m=\boxed{\text{ケ}},\ n=\boxed{\text{コサ}}$ である。

（5）2直線

がある。直線 $\ell_1$ は定数 $k$ の値によらず，定点 $\left(\boxed{\text{シス}},\boxed{\text{セ}}\right)$ を通る。また，2直線 $\ell_1,\ell_2$ が平行になるときの $k$ の値は，$\boxed{\text{ソタ}}$ または $\dfrac{\boxed{\text{チ}}}{\boxed{\text{ツ}}}$ である。

（6）6冊の同じ種類のノートをA，B，Cの3人に配布する。1冊も配布されない人がいてよいとすると，配り方は全部で $\boxed{\text{テト}}$ 通りある。